Виды паркета в математике

Узоры математики, как и узоры художника или узоры поэта, должны быть красивы; идеи, как и краски или слова, должны сочетаться гармонически.

Красота является первым критерием: в мире нет места для безобразной математики.

Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики

Паркеты с древних времён привлекали к себе внимание людей. Ими мостили дороги, украшали полы в помещениях, стены домов использовали в декоративно прикладном искусстве.

Знаменитый голландский художник Мариус Эшер (1898-1972) посвятил паркетам несколько своих картин. Проявление свойств паркетов сказывается на свойствах различных природных минералов и кристаллов. В то же время паркеты являются объектом исследования математиков. Важные результаты здесь получены отечественными учёными академиками А. Д. Александровым, В. Н. Делоне, Е. С. Фёдоровым и др.

История паркета

В давние времена составление паркетов являлось искусством, которым в совершенстве владели крепостные мастера, создававшие паркеты во дворцах царей и вельмож.

ВСЕРОС-2021 ПО МАТЕМАТИКЕ — 10 КЛАСС — РАЗБОР

Паркет в Итальянском зале Павловского дворца

А вот мозаики Эшера. Эшер использовал базовые образцы мозаик, превратив их в животных, птиц, ящериц и т. д.

Определение паркета. Виды паркетов. Геометрические приёмы составления паркетов

Паркет- это покрытие плоскости геометрическими фигурами без зазоров и пересечений.

Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, тем не менее эта тема непосредственно связана с такими понятиями как многоугольник, правильный многоугольник, параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрия и др.

Рассмотрим частные случай: покрытие плоскости многоугольниками.

Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

В ходе изучения паркетов, я пришёл к выводу, что основные геометрические приёмы составления паркетов – это параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрия. Не так уж много, но какая красота получается!

Я построил паркеты в программе Живая Геометрия, версия 4.

Паркет называется правильным, если он состоит из равных правильных многоугольников. Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, — треугольник, квадрат и шестиугольник.

Паркет называется полуправильным, если он состоит из правильных многоугольников (возможно с разным числом сторон), одинаково расположенных вокруг каждой вершины, т. е. паркет из нескольких видов правильных многоугольников. Всего таких паркетов – 8. Вот они.

Паркеты, придуманные автором

Паркеты, в которых есть звёздчатые многоугольники

Паркеты из окружностей

Паркеты из дуг окружностей

Математика | Объём в жизни и в математике

2,3,4 получены поворотом на 90 и т. д

Паркеты из квадратов

Любую плоскость можно заполнить четырёхугольниками

Заполнение плоскости выпуклыми четырёхугольниками.

Заполнение плоскости невыпуклыми четырёхугольниками.

Паркеты из шестиугольников, у которых противоположные стороны равны и параллельны

Паркеты из фракталов.

Очень красивые паркеты получаются, если внутри квадрата, треугольника или шестиугольника поместить геометрические фигуры — фракталы, которые также можно построить в программе «Живая геометрия» (построены в версии 3)

Паркеты из роз Гвидо Гранди

Розами, или кривыми Гвидо Гранди, называют семейство кривых, полярное уравнение которых записывается в виде r = asink или r = acosk, где а и k – некоторые положительные числа. Я построил розы и цветы в версии 4, раскрасил в Paint, поместил в квадраты и ими замостил плоскость.

Паркеты, в которых присутствуют люди и животные

Красота и математика

Мы с наслаждением познаём математику Она восхищает нас, как цветок лотоса

Математика — один из видов искусства

Красота математики не случайна, она заложена изначально в самой природе математики.

Математике, как таковой, присуща известная красотаГёте удачно назвал благородный собор «окаменелой музыкой», но, быть может, ещё лучше было бы назвать такой собор «окаменелой математикой»

. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства

математика во все времена была и остаётся «первой красавицей» среди наук и, следовательно, эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются в математике

математика несёт красоту в любую науку

Но ведь мы определённо носим в себе ощущение математической красоты, гармонии чисел и формы, геометрического изящества. Все эти чувства – настоящие эстетические чувства, и они хорошо знакомы всем настоящим математикам

В математике есть тоже своя красота, как в живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчётливых, ярко очертанных идеях, где на виду всякая деталь умозаключений, а иногда поражает она нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что недосказанное, но многообещающее

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли

А. Д. Александров

Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики

В математике красота играет громадную роль

В математике не меньше логики и красоты, чем в шахматах. И есть преимущество: математики не разыгрывают между собой звание абсолютного чемпиона

Я установил множество исключительно красивых теорем

Математика, правильно понятая, обладает не только истиной, но также величайшей красотой, какой обладает искусство ваяния.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой, доступной только величайшему искусству

Умение строить паркеты, пользуясь определенными математическими приемами, позволяет увидеть красоту математики. Увидеть внутреннюю красоту математики не все могут (см. п. 5), а внешнюю – все. Я показал на примере своей работы внешнюю красоту математики.

Источник: www.microanswers.ru

Виды паркета в математике

Парке́т или замощение — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий. Кроме паркетов на евклидовой плоскости, в математике рассматриваются «паркеты» на сфере, гиперболической плоскости, в трёхмерном и многомерном пространстве.
Go to Article

PARTcloud — mesh

No results were found.

Паркет (геометрия)

Паркет (геометрия)

Паркет (геометрия) на Викискладе

У этого термина существуют и другие значения, см. Паркет.

Парке́т или замощение — разбиение плоскости многоугольниками (или пространства многогранниками) без пробелов и перекрытий.

Кроме паркетов на евклидовой плоскости, в математике рассматриваются «паркеты» на сфере >>> , гиперболической плоскости >>> , в трёхмерном и многомерном пространстве.

• 1 Терминология

• 1.1 Замощения, мозаики, паркеты, разбиения
• 1.2 Покрытия и упаковки
• 1.3 Протоплитки
• 1.4 Конфигурации вершин и граней

• 2.1 Паркеты на плоскости

• 2.1.1 Правильные паркеты
• 2.1.2 Полуправильные паркеты
• 2.1.3 Квазиправильные паркеты
• 2.1.4 Неоднородные паркеты
• 2.1.5 Непериодические паркеты и апериодические множества плиток

• 3.1 Перечисление паркетов

Терминология

Замощения, мозаики, паркеты, разбиения

Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками (англ. tessellation, tiling ), разбиениями плоскости (англ. partition ), паркетажами. Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют со́тами.

На странице 16 книги Грюнбаума и Шепарда [en] «Tilings and Patterns» (1987) [2] находится следующее примечание:

В математической литературе слова tessellation, paving, mosaic и parquetting используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung и Zerlegung; французские слова — pavage, carrelage и dallage; русские слова — паркетаж, разбиение и замощение.

Оригинальный текст (англ.)

In mathematical literature, the words tessellation, paving, mosaic and parquetting are used synonymously or with similar meanings. The German words for tiling are Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung and Zerlegung. The French words are pavage, carrelage and dallage. The Russian words are паркетаж, разбиение and замощение.

Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда называют картами (см., напр., теорема о четырёх красках).

Покрытия и упаковки

Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру Ф, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры Ф. При этом покрывающие фигуры могут перекрываться, но покрывают фигуру Ф без пробелов.

Упаковка — это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных (т.е. без перекрытий).

Замощение — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой [2] [3] .

Протоплитки

Протоплитки паркета (англ. prototiles , также прототипы [4] ) — это плитки (формы), входящие в паркет. Каждая плитка паркета конгруэнтна одной из протоплиток [5] .

Так, единственная протоплитка шестиугольного паркета — правильный шестиугольник; протоплиткой правильного сферического пятиугольного паркета является пентагон; множество протоплиток ромботришестиугольного паркета состоит из равностороннего треугольника, квадрата и гексагона.

Паркет называется k-эдрическим, если множество его протоплиток (протомножество) состоит из k плиток [4] [2] .

Плитки паркета также называют гранями, а стороны многоугольных плиток — рёбрами, по аналогии с терминологией для многогранников [6] .

Конфигурации вершин и граней

См. также: Конфигурация вершины, Конфигурация грани и Символ Шлефли

Ромботришестиугольный паркет [en] состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В случае, если два и более числа в этой последовательности идут подряд, используется сокращённая запись: треугольный паркет может быть обозначен как 3.3.3.3.3.3 или как 3 6 . При этом записи, отличающиеся лишь циклической перестановкой чисел или изменением порядка записи на противоположный (например, 3.3.4.3.4 и 4.3.3.4.3), обозначают одну и ту же конфигурацию вершины; в то же время запись 3.4.4.6 не эквивалентна записи 3.4.6.4 [4] [7] [8] [9] [10] .

В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.

Конфигурацией грани [en] называется последовательность степеней вершин этой грани при обходе её в одном направлении. Конфигурация грани записывается последовательностью чисел в квадратных скобках [2] или с префиксом V.

Если все вершины некоторого паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью a1.a2. ak, то все грани двойственного ему паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью Va1.a2. ak. Например, конфигурации граней паркета, двойственного ромботришестиугольному паркету 3.4.6.4 (англ.) , записываются как V3.4.6.4.

Виды паркетов

Во многих случаях принимается условие эквивалентности каждой из протоплиток паркета топологическому диску; иными словами, плитка не должна состоять из нескольких частей (квазиполимино [11] ), содержать «отверстия», быть бесконечной полосой и т.п. [2] [4] .

Паркеты на плоскости

Правильные паркеты

Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами (англ. regular tilings ). Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет [12] [9] [13] .

Правильные паркеты на Викискладе

Правильные паркеты называют также платоновыми паркетами [14] .

Полиформы, располагающиеся на правильных паркетах, называются соответственно полиамондами, полимино и полигексами.

Для обозначения паркета из правильных p-угольников, расположенных по q вокруг каждой вершины, применяется символ Шлефли p, q>. Символы Шлефли трёх правильных мозаик — , и [6] .

Полуправильные паркеты

Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами (англ. semiregular tilings ) или архимедовыми паркетами [15] [16] [17] [9] .

Существует 8 полуправильных паркетов [12] [7] [16] [17] [10] . Один из восьми полуправильных паркетов ( курносый тришестиугольный паркет [en] ) является хиральным, то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением [16] [17] [4] [7] .

Курносый тришестиугольный паркет [en] (одна из двух зеркальных копий)
3.3.3.3.6

Однородные паркеты на Викискладе

Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.

Первое, «локальное» определение, заключается в том, что вершинные конфигурации всех вершин должны совпадать. Иными словами, последовательности граней вокруг любых двух вершин паркета должны быть одинаковыми: одни и те же многоугольники должны идти в одном и том же (или в противоположном) порядке.

Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.

Грюнбаум и Шепард разделяют термины «архимедов паркет» (англ. Archimedean tiling ) и «однородный паркет» (англ. uniform tiling ): к первой группе относятся паркеты, соответствующие «локальному» определению, а ко второй — «глобальному». Хотя на евклидовой плоскости два этих множества совпадают, в других пространствах существуют архимедовы паркеты, не являющиеся однородными [2] .

В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются.

Квазиправильные паркеты

Основная статья: Квазиправильный многогранник

Квазиправильный паркет (или многогранник) (англ. quasiregular tiling ) — однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа [18] [19] [20] .

На Евклидовой плоскости существует лишь один квазиправильный паркет — тришестиугольный паркет [en] с вершинной конфигурацией 3.6.3.6. На сфере существует два квазиправильных паркета (сферических многогранника) — кубооктаэдр и икосододекаэдр.

Неоднородные паркеты

Существует бесконечное множество неоднородных (англ. non-uniform ) паркетов, состоящих из правильных многоугольников.

3 2 .6 2 , 3 6
3 2 .6 2 , 3.6.3.6
3 2 .4.12, 3 6
3.4 2 .6, 3.6.3.6

Неоднородные паркеты на Викискладе

Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Если число орбит вершин равно n, паркет называется n-однородным (англ. n-uniform ) или n-изогональным; если число орбит рёбер равно n — n-изотоксальным (англ. n-isotoxal). Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов [2] [9] [21] .

Непериодические паркеты и апериодические множества плиток

Непериодическая мозаика P3, впервые опубликованная Р. Пенроузом в 1978 году [2] [22] .
Двумерная несвязная плитка Соколара — Тэйлора [en]

Мозаики Пенроуза на Викискладе

Разбиение T называется периодическим, если среди симметрий T существуют два параллельных переноса в непараллельных направлениях. В этом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложенного из элементов в узлах некоторой решётки. Множество прототипов (протомножество) P называется апериодическим, если оно реализуется в каких-то разбиениях плоскости, но ни одно из этих разбиений не является периодическим [4] .

Первый пример апериодического множества плиток был найден Робертом Берджером [en] в 1966 году и включал в себя 20 426 плиток Вана [2] [24] . Плитки Вана представляют собой квадраты одного размера с окрашенными сторонами; при построении мозаики разрешено совмещать плитки лишь одноцветными сторонами и запрещено переворачивать плитки.

Позднее были найдены апериодические протомножества с ме́ньшим числом плиток. Роджер Пенроуз обнаружил апериодические протомножества, состоящие из двух плиток [2] [23] [25] .

В 2010 году Джошуа Соколар и Джон Тэйлор предложили апериодическое множество, состоящее из единственной плитки [en] , которая представляет собой правильный шестиугольник с нанесённой разметкой в виде цветных линий и с дополнительными ограничениями, связанными с взаимным расположением не касающихся друг друга плиток [26] . Существует модификация, не использующая подобных ограничений, но использующая несвязную плитку, т.е., плитку, не являющуюся топологическим диском. Существование единственной связной плитки без дополнительной разметки и ограничений, способной покрыть плоскость только апериодически, остаётся открытой проблемой [26] [27] .

Сферические многогранники

Основная статья: Сферический многогранник

Сферический паркет или сферический многогранник — разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов [28] .

Каждому из 5 платоновых тел соответствует правильный сферический паркет. Формально, пусть S — сфера с центром O, совпадающим с центром многогранника P. Проведённые из O лучи, проходящие через вершины многогранника P, пересекают сферу S в точках, являющихся вершинами соответствующего сферического паркета; рёбра многогранника P соответствуют дугам больших кругов на S.

Помимо сферических аналогов пяти «платоновых тел», существует два семейства правильных сферических многогранников, не имеющих эквивалентов среди многогранников с плоскими гранями: осоэдры — многогранники с двумя вершинами, находящимися на полюсах сферы, грани которых являются конгруэнтными двуугольниками, и диэдры — двойственные осоэдрам двугранники, вершины которых находятся на экваторе сферы.

Гиперболические паркеты

См. также: Геометрия Лобачевского и en:Uniform tilings in hyperbolic plane

Аксиома параллельности Евклида (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её.

В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома:

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Для изображения гиперболической плоскости применяется одна из существующих моделей — модель Бельтрами — Клейна, конформный диск Пуанкаре, модель Пуанкаре на полуплоскости [29] .

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета и 8 полуправильных. На гиперболической плоскости существует бесконечное множество даже правильных паркетов, включая паркеты с семью и более равносторонними треугольниками вокруг вершины, пятью и более квадратами, четырьмя и более правильными пятиугольниками (паркет с тремя пятиугольниками вокруг вершины является сферическим додекаэдром), четырьмя и более правильными шестиугольниками и тремя и более равными правильными многоугольниками с количеством сторон более 6.

Задачи на паркетах

См. также: Полимино и Кубики сома

Большое количество задач и головоломок связано с разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого заданного множества протоплиток. Сами протоплитки при этом могут представлять собой связные объединения ячеек правильного паркета.

В частности, существует класс задач на замощение прямоугольников m × n плитками домино таким образом, чтобы в полученном разбиении не было прямой линии, пересекающей прямоугольник от края до края и не пересекающей ни одной плитки домино; такие прямоугольники называются «прочными» [11] [4] [30] .

В других задачах устанавливается дополнительное ограничение на количество плиток каждого вида, используемых в замощении. В задачах, связанных с пентамино, требуется покрыть 12 фигурами заданное подмножество квадратного паркета, состоящее из 60 клеток (прямоугольники 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, шахматная доска с вырезанным в центре квадратным тетрамино и др.); при этом каждая плитка должна быть использована ровно один раз [11] [30] .

Перечисление паркетов

Задача определения количества паркетов, состоящих из выпуклых многоугольников заданного типа, решена лишь частично:

• Любым треугольником или четырёхугольником можно замостить плоскость [4][31][32] .
• Известно 15 пятиугольников, способных замостить плоскость; неизвестно, является ли этот перечень полным [1] . Проблема перечисления пятиугольных паркетов имеет богатую историю [4] , и, возможно, уже решена [33][34] .
• Известно 3 типа шестиугольников, способных замостить плоскость [4][35] .
• Невозможно замостить плоскость одинаковыми выпуклыми многоугольниками с числом сторон, большим или равным семи [4][36] .

См. также

• Диаграмма Вороного
• Триангуляция Делоне
• Мозаика Пенроуза
• Проблема четырёх красок
• Стереографическая проекция
• Замощение (компьютерная графика)

This article uses material from the Wikipedia article «Паркет (геометрия)», which is released under the Creative Commons Attribution-Share-Alike License 3.0. There is a list of all authors in Wikipedia

Источник: b2b.partcommunity.com

Виды паркета в математике

и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.  С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.

Слайд 3

ЧТО ТАКОЕ ПАРКЕТ? Парке́ т — замощение плоскости многоугольниками без

пробелов и перекрытий, в котором любые два многоугольника имеют

либо общую сторону, либо только общую вершину, либо вовсе не

имеют общих точек.

Слайд 4

ТЕРМИНОЛОГИЯ. Паркеты иначе называются замощениями , мозаиками разбиениями плоскости

паркетажами . Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей

часто называют со́тами .  Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда

называют картами.

Слайд 5

ВИДЫ ПАРКЕТОВ.Правильные паркеты Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными

паркетами. Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет ,

квадратный паркет и шестиугольный паркет . Шестиугольный

Квадратный Треугольный Паркет. Паркет. Паркет.

Слайд 6

ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ ПАРКЕТЫ. Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов,

такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование

симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными

паркетами или архимедовыми паркетами. Существует 8 полуправильных паркетов . Один из восьми полуправильных паркетов ( курносый тришестиугольный паркет [ en ] ) является хиральным , то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением. Курносый тришестиугольный паркет .

Слайд 7

ОСТАЛЬНЫЕ ВИДЫ ПАРКЕТОВ. Квазиправильный паркет (или многогранник)— однородный паркет (или многогранник),

состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины;

иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа.  Неоднородные паркеты Существует

бесконечное множество неоднородных паркетов, состоящих из правильных многоугольников.  Сферический паркет или сферический многогранник — разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов .

Слайд 8

ЗАДАЧИ НА ПАРКЕТАХ. Большое количество задач и головоломок связано с разбиением

прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого

заданного множества протоплиток. Сами протоплитки при этом могут представлять собой связные

объединения ячеек правильного паркета .

Слайд 9

ПАРКЕТЫ В ПРИРОДЕ. Пчелы-удивительные творения природы. Геометрические способности пчел проявляются при

построении сот. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, перпендикулярной их

ребрам, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников,

уложенных в виде паркета.

Слайд 10

ВЫВОД. По результатам работы можно сделать следующие выводы: — паркеты из

правильных многоугольников можно сделать только с помощью правильных треугольников,

квадратов и правильных шестиугольников. с помощью неправильных многоугольников можно придумать

огромное количество паркетов. в основе создания паркета лежит деление плоскости на многоугольники. количество полуправильных паркетов конечно и равно 8. из правильных: треугольника, квадрата и шестиугольника одинаковой площади наименьший периметр будет у шестиугольника.

Чтобы скачать презентацию — поделитесь ей с друзьями с помощью социальных кнопок.

Источник: slaidy.com