Сколькими способами можно выбрать согласную и гласную из слова здание из слова паркет

Кафедра математических методов и информатики в экономике

УТВЕРЖДЕНО УЧЕНЫМ СОВЕТОМ Протокол № от «___» _________ 2014 Директор института управления и региональной экономики __________________________ В.О. Мосейко «___» ___________ 2014

РЕКОМЕНДОВАНО КАФЕДРОЙ Протокол № от «___» __________ 2014 Заведующий кафедрой математических методов и информатики в экономике __________________________ Л.Ю. Богачкова «___» ___________ 2014

Программа учебной дисциплины

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

для обучающихся по основной образовательной программе подготовки
бакалавров

38.03.04 Государственное и муниципальное управление

Количество зачетных единиц: 3

Ватюкова О.Ю., старший преподаватель

Общекультурные компетенции направления

Государственное и муниципальное управление»

Профессиональные компетенции направления

Государственное и муниципальное управление»

Когда нужен инструмент точнее микрометра. Что такое пассаметр или зачем прибор с точностью 0.002 мм.

Формы работы

Формами работы студентов являются: лекции, семинарские занятия, самостоятельная подготовка к семинарским занятиям, модульным контрольным и индивидуальным домашним работам.

Виды контроля

текущий (для самоконтроля при выполнении заданий или ответов на вопросы, получаемые от преподавателя на семинарских занятиях, а также при выполнении домашних работ);

Текущий контроль знаний осуществляется в письменной форме (самостоятельные работы, тесты) в течение всего периода обучения.

промежуточный (три модульные контрольные работы);

итоговый (зачет по результатам работ или экзамен).

Раздел 5. Учебно-методическое обеспечение программы.

Список литературы

Базовый учебник

1. В.Е. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика – М., 2003.

Основная литература

1. Ватюкова О.Ю., Черкунова Н.А., Сборник задач по теории вероятностей для студентов экономических специальностей, 2007г.

2. В.И.Ермаков. Общий курс высшей математики для экономистов – М., 2000.

3. К.Н. Лунгу. Высшая математика. – М., 2002.

4. Малыхин В.И. Математика в экономике. – М.: ИНФРА-М, 1999.

5. Красс М.С. Математика в экономике. Основы математики: Учебник. – М.: ИД ФБК-ПРЕСС, 2005. – 472 с.

Дополнительная литература

1. Общий курс высшей математики для экономистов / Под редакцией В.И. Ермакова. – М.: ИНФРА-М, 2000. – 656 с.

2. А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра.

Математика в экономике. Учебник: В 2-х частях. М.: Финансы и статистика, 2000.

3. А.С. Солодовников. Теория вероятностей – М., 1983.

4. Е.С. Мироненко. Высшая математика – М., 1998.

5. Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. — М., 2000.

6. Х.М. Андрухаев. Сборник задач по теории вероятностей – М., 1985.

7. Г.И. Агапов. Задачник по теории вероятностей. -М., 1986.

Ссылка на ПТК УМК

Элементы комбинаторики.

Комбинаторные задачи. 5 класс

1.1. Найти объединение множеств Аи В:

а) А – множество делителей числа 105, В – множество делителей числа 55;

б) А – множество цифр числа 35, В – множество цифр числа ;

в) , В = [2; 4];

г) А – множество точек координатной плоскости, у которых абсцисса больше 3, В – множество точек координатной плоскости, у которых ордината не больше 2.

1.2. Для множеств А =[1; 5), В =[4; 6] и С =(–3; 2]. Найдите множество .

1.3. Найдите количество всех: а) двузначных чисел; б) двузначных чисел, состоящих из разных цифр; в) двузначных чисел, сумма цифр которых больше 16; г) двузначных чисел, произведение цифр которых меньше 2.

1.4. Из цифр 4, 6, 7 составляют различные трехзначные числа без повторяющихся цифр.

a. Найдите наибольшее число.

b. Найдите наименьшее число, у которого вторая цифра равна 7.

c. Сколько чисел, оканчивающихся цифрой 7, можно оставить?

d. Сколько всего чисел можно составить?

1.5. Из цифр 0, 1, 4, 8, 9 составляют двузначное число (повторения цифр допускаются).

a. Найдите наибольшее число.

b. Найдите наименьшее число, которое кратно 9.

c. Сколько четных чисел можно составить?

d. Перечислите все числа, которые кратны 8.

1.6. На поле в составе футбольной команды должны выйти два нападающих, а у тренера команды есть четыре кандидата х, у, z и t на эти позиции.

а) Из скольких вариантов придется выбирать тренеру?

б) Как изменится ответ в а), если игрок х не может играть вместе с игроком у?

в) Как изменится ответ в а), если игрок z может играть только вместе с игроком t?

г) Как изменится ответ в а), если на поле должны выйти три нападающих?

1.7. В одной урне лежит 10 шаров, в другой – 8 шаров. Произвольно из первой урны вынимается один шар. Затем независимо от этого из второй урны тоже вынимается один шар. Сколькими способами можно получить различные пары шаров?

1.8. Сколько номеров, состоящих из двух букв, за которыми идут пять цифр, можно составить, используя 32 буквы и 10 цифр?

1.9. Сколько упорядоченных пар можно составить из 32 букв, если в каждой паре обе буквы различны?

1.10. Для завтрака на кусок белого, черного или ржаного хлеба можно положить сыр или колбасу. Бутерброд можно запить чаем, молоком или кефиром.

a. Нарисуйте дерево возможных вариантов завтрака.

b. В скольких случаях будет выбран молочный напиток?

c. Как изменится дерево вариантов, если известно, что сыр не положат на черный хлеб, а колбасу не будут запивать кефиром?

1.11. В урне лежат девять неразличимых на ощупь шаров: пять белых и четыре черных. Вынимают одновременно два шара. Если они разного цвета, то их откладывают в сторону, а если одного цвета, то возвращают в урну. Такую операцию повторяют два раза.

a. Нарисуйте дерево возможных вариантов.

b. В скольких случаях в урне останется девять шаров?

c. В скольких случаях в урне останется не более пяти шаров?

d. Нарисуйте дерево возможных вариантов, если указанную в условии операцию повторяют три раза.

1.12. Во дворе дома у тротуара стоит по вечерам пять машин. Сколькими способами они могут стоять?

1.13. Студенты должны сдать 4 экзамена. Сколькими способами деканат может составить последовательность сдачи экзаменов?

1.14. Учительница подготовила к контрольной работе четыре задачи на решение линейных неравенств, пять текстовых задач (две на движение и три на работу) и шесть задач на решение квадратных уравнений (в двух задачах дискриминант отрицателен). В контрольной должно быть по одной задаче на каждую из трех указанных тем. Найдите общее число: а) всех возможных вариантов контрольной; б) тех возможных вариантов, в которых встретится задача на движение; в) тех возможных вариантов, в которых у квадратного уравнения будут корни; г) тех возможных вариантов, в которых не встретятся одновременно задача на работу и квадратное уравнение, не имеющее корней.

1.15. Сколько чисел среди первой тысячи натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7?

1.16. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для посылки письма?

1.17. Сколькими способами можно выбрать согласную и гласную из слова «здание»? из слова «паркет»?

1.18. Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? Решите ту же задачу, если нет ограничений на цвет квадратов. Решите ее, если надо выбрать два белых квадрата.

1.19. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной горизонтали или одной вертикали?

1.20. Из 3 экземпляров учебника алгебры, 7 экземпляров учебника геометрии и 6 экземпляров учебника физики надо выбрать комплект, содержащий все три учебника по одному разу. Сколькими способами это можно сделать?

1.21. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеются ткани пяти различных цветов? Решите ту же задачу при условии, что одна полоса должна быть красной.

1.22. В цехе работают 8 токарей. Сколькими способами можно поручить трем из них изготовление трех различных видов деталей (по одному виду на каждого)?

1.23. Из 10 различных книг выбирают 4 для посылки. Сколькими способами это можно сделать?

1.24. В профком избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, его заместителя, секретаря и культорга. Сколькими способами это можно сделать?

1.25. Сколькими способами можно опустить 5 писем в 11 почтовых ящиков, если в каждый ящик опускают не более одного письма?

Геометрическая вероятность

3.1. В прямоугольнике АВС D отметили середины K и L сторон CD и AD соответственно, а также M и N на сторонах AB и BC так, что AM : MB=1:3 и BN : NC=1:2. В прямоугольнике случайно отметили точку. Какова вероятность того, что эта точка окажется: а) в треугольнике KCN; б) в треугольнике MBN; в) вне треугольника AMC; г) в четырехугольнике MNKL?

3.2. Случайным образом выбирают одно из решений неравенства . Какова вероятность того, что оно окажется и решением неравенства: а) ; б) ; в) ; г) ?

3.3. Сектор А занимает половину рулетки, а ее вторая половина разделена на два одинаковых сектора Б и В. Какова вероятность того, что после раскручивания стрелка рулетки остановится: 1) на секторе А; 2) на секторе В?

3.4. На отрезке АВ=15 см произвольным образом выделен отрезок MN=3 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что эта точка попадет на отрезок MN?

3.5. Дано: АВ=12 см, АМ=2 см, М N=4 см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ; 2) А N; 3) MN; 4) МВ; 5) АВ.

3.6. Внутри квадрата со стороной 10см выделен круг радиусом 2см. Случайным образом внутри квадрата отмечается точка. Какова вероятность того, что она попадет в выделенный круг?

3.7. На отрезок длины 1 бросают наудачу две точки. Они разбивают отрезок на три отрезка. Какова вероятность, что из полученных трех отрезков можно сложить треугольник? Найти вероятность того, что из трех наудачу взятых отрезков, длина каждого из которых не превосходит а, можно составить треугольник.

3.8. Какой толщины должна быть монета, чтобы вероятность падения на ребро равнялась 1/3?

3.9. Наудачу выбирают два числа из промежутка [0, 1]. Какова вероятность того, что их сумма заключена между 1/4 и 1?

3.10. Какова вероятность того, что произведение двух наудачу взятых правильных положительных дробей будет не больше 1/4?

3.11. На отрезок АВ длины а наудачу нанесена точка С. Найти вероятность того, что меньший из отрезков АС и ВС имеет длину, большую, чем .

3.12. На площадку, покрытую кафельной плиткой со стороной а=6 см, случайно падает монета радиуса r=2 см. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата.

Формула полной вероятности.

Формула Байеса.

5.1. В учебных мастерских на станках а, b и с изготавливают соответственно 25%, 35% и 40% всех деталей. В их продукции брак составляет соответственно 15%, 12% и 6%. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь дефектна.

5.2. На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь стандартная, для первого станка равна 0,8, для второго – 0,9. Производительность второго станка втрое больше, чем первого. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь окажется стандартной.

5.3. На пяти карточках написано по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбирают одну за другой две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой?

5.4. 45% телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м заводе, 15% – на 2-м, остальные – на 3-м заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, не потребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96, 0,84, 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленный наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.

5.5. Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0,8, и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приёма сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0,9.

5.6. Имеются две одинаковые урны с шарами. В 1-й находится 3 белых и 4 черных шара, во 2-й – 2 белых и 3 черных. Из наудачу выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

5.7. Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащить счастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если – вторым?

5.8. Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной цели. Вероятность попадания 1-м стрелком равна 0,6, 2-м – 0,7, 3-м – 0,8. При одном попадании в мишень вероятность поражения цели равна 0,2, при двух – равна 0,6, при трех – цель заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели.

5.9. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль.

5.10. Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0,4; 0,3. Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.

5.11. Предположим, что 5% мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того, что этот человек:

а) мужчина, б) женщина.

5.12. Система обнаружения самолета из-за наличия помех в зоне действия локатора может давать ложные показания с вероятностью 0,05, а при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность появления противника в зоне равна 0,25. Определить вероятность ложной тревоги.

5.13. В условиях задачи 5.14 взятое изделие прошло упрощенный контроль. Найти вероятность того, что оно стандартное. А если изделие дважды прошло упрощенный контроль?

5.14. Два стрелка независимо друг от друга сделали по одному выстрелу в мишень. Вероятности их попадания в мишень соответственно равны 0,75 (1-й стрелок) и 0,80 (2-й стрелок). После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что в мишень попал 2-й стрелок?

5.15. В урну, содержащую 100 шаров, опущен красный шар, после чего из нее наудачу вынимают шар. 1) Какова вероятность того, что он красный? 2) Известно, что из урны вынут красный шар. Какова вероятность того, что в ней содержалось 44 красных шара? (Все предположения о первоначальном количестве красных шаров в урне равновозможны.)

5.16. Военный корабль может пройти вдоль пролива шириной 1 км с минным заграждением в любом месте. Вероятность его подрыва на мине в правой части заграждения шириной 200 м равна 0,3, а на остальной части – 0,8. Найти вероятность того, что корабль благополучно пройдет пролив.

5.17. На сборку попадают детали с трех автоматов. Известно, что 1-й автомат дает 0,25% брака, 2-й – 0,40%, 3-й – 0,60%. Какова вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с 1-го автомата поступило 2000, со 2-го – 1500 и с 3-го – 1300 деталей?

Кафедра математических методов и информатики в экономике

Программа учебной дисциплины

Источник: findout.su

Правила суммы и произведения

Решение большинства комбинаторных задач основано на правилах, которые называют правилами суммы и произведения.

Рассмотрим следующие задачи:

Задача 1. В магазине «Магнит» имеется 20 плиток молочного шоколада с орехами «ALPEN GOLD» и 14 плиток черного пористого шоколада «ВОЗДУШНЫЙ». Сколькими способами можно выбрать одну плитку шоколада?

Задача 2. В книжном магазине «Феникс» имеется 5 книг о Гарри Поттере и 3 книги из серии «Властелин колец». Сколькими способами можно выбрать одну книгу?

Эти задачи переведём на язык теории множеств и сформулируем в общем виде:

Имеются два конечных множества А= и В=, не имеющих общих элементов. Сколькими способами можно выбрать объект, принадлежащий или А, или В?

В комбинаторике, которая возникла раньше теории множеств, правило нахождения числа элементов в объединении двух непересекающихся конечных множеств называют правилом суммы и формулируют в следующем виде.

Если объект а можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k способами, отличными от способа выбора объекта a, то выбор «либо a, либо b» можно осуществить m+k способами.

Правило суммы распространяется и на тот случай, когда число попарно непересекающихся множеств более двух.

Мы можем решить ранее предложенные задачи, используя правило суммы.

Задача 1. Решение. Так как имеется 20 видов молочного шоколада с орехами «ALPEN GOLD», то существует 20 способов выбрать одну из плиток шоколада. Аналогично существует 14 способов выбора одной плитки шоколада «ВОЗДУШНЫЙ». Так как требуется выбрать шоколад «либо с орехами, либо пористый», то по правилу суммы получаем (20+14=34) тридцать четыре способа выбора одной плитки шоколада.

Задача 2. Решение. Рассуждая также, как при решении задачи 1, по правилу суммы получим 8 способов выбора одной книги из предложенных.

Рассмотрим следующие задачи.

Задача 3. Ко Дню Именинника, отмечаемого в начальной школе, родители приготовили детям подарки: 9 книг художественной литературы различных писателей и 5 видов блокнотов. Сколькими способами можно выбрать подарок, состоящий из одной книги и одного блокнота?

Задача 4. Сколькими способами можно составить команду из одного спортсмена по прыжкам в длину и одного бегуна, которые являются претендентами для участия в соревнованиях по легкой атлетике, если среди претендентов на участие 7 спортсменов по прыжкам в длину и 4 спортсмена по бегу?

Переведём эти задачи на язык теории множеств и сформулируем в общем виде:

Имеются два конечных множества А= и В=. Сколькими способами можно выбрать два объекта, один из которых принадлежит множеству А, а второй – множеству В?

В теории множеств решение таких задач сводится к нахождению числа элементов в декартовом произведении множеств. В комбинаторике правило, по которому решаются подобные задачи, называют правилом произведения.

Если объект а можно выбрать n способами, а объект b можно выбрать m способами, то выбор «и a, и b» можно осуществить n ∙ m способами.

Правило произведения распространяется на случай выбора кортежа любой длины.

Используя правило произведения, решим задачи, предложенные ранее.

Задача 3. Решение. Так как существует 9 способов выбора книг по художественной литературе и 5 способов выбора блокнотов, то по правилу произведения «выбор книги и блокнота» («и a, и b») можно осуществить (9∙5=45) сорока пятью способами.

Ответ: 45 способов.

Задача 4. Решение. Рассуждая также как при решении задачи 4, по правилу произведения получим 28 способов составить команду для участия в соревнованиях по легкой атлетике.

Ответ: 28 способов.

Рассмотрим еще несколько задач.

Задача 5. Определим, сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «здание»? а из слова «микрон»?

Решение.В слове «здание» 3 согласные и 3 гласные буквы. Нам необходимо выбрать и гласную и согласную буквы, поэтому по правилу произведения выбор может быть произведен 3∙3 = 9 (способами).

А из слова «микрон» выбор можно сделать 4∙2=8 (способами).

Ответ: 9 способами, 8 способами.

Задача 6. В конкурсе принимают участие 20 человек. Сколькими способами можно присудить первую, вторую и третью премии?

Решение.Существует 20 способов выбора одного кандидата на первую премию. Остается 19 кандидатов, одному из которых присуждают вторую премию. Наконец, одному из восемнадцати оставшихся кандидатов присуждают третью премию. Согласно правилу произведения для этого существует 20 19 18=6840 (способов) присуждения первой, второй и третьей премии.

Ответ: 6840 способов.

Задача 7. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9?

Решение. Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру разряда сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков можно осуществить шестью способами, выбрать цифру единиц из данных шести также можно шестью способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что всего трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 566=300(чисел).

Ответ: 300 чисел.

Задача 8. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0, 1, 3, 6, 7 и 9, если каждая из них может быть использована в записи числа только один раз?

Решение. Так как запись числа не может начинаться с нуля, то цифру разряда сотен можно выбрать пятью способами; выбор цифры десятков можно осуществить также пятью способами, поскольку цифры в записи числа не должны повторяться, а одна из шести данных цифр будет уже использована для записи сотен; После выбора двух цифр (для записи сотен и десятков) выбрать цифру единиц из данных шести можно четырьмя способами. Отсюда, по правилу произведения, получаем, что всего трехзначных чисел (из данных шести цифр) можно образовать 100: 554=100(чисел).

Ответ: 100 чисел.

Докажем теорему 5, используя правило произведения.

Теорема 5. Конечное множество, содержащее п элементов, имеет 2 п подмножеств, то есть если Ап = 1, а2, . , a >, то п(М(Ап))=2 п .

 Перенумеруем элементы множества А и для каждого подмножества множества А построим последовательность длины n из нулей и единиц по следующему правилу: на k – м месте пишем 1, если элемент с номером k входит в подмножество, и 0, если элемент с номером k не входит в подмножество. Итак, каждому подмножеству соответствует своя последовательность нулей и единиц. Число всех возможных последовательностей длины n, составленных из нулей и единиц, равно, согласно правилу произведения: 2 ∙ 2 ∙ … ∙ 2=2 .

Следовательно, и число всех подмножеств множества А равно 2 . Теорема доказана.

Последнее изменение этой страницы: 2018-04-12; просмотров: 467.

stydopedya.ru не претендует на авторское право материалов, которые вылажены, но предоставляет бесплатный доступ к ним. В случае нарушения авторского права или персональных данных напишите сюда.

Источник: stydopedya.ru

Комбинаторика

В.И. Заботин — зав. кафедрой математики Университета Управления ТИСБИ, профессор, д.т.н.

Л.Г. Амбарцумов – доцент, к.т.н. кафедры прикладной математики и информатики КНИТУ-КАИ им. А.Н. Туполева.

Талызин В.А.

Теория вероятностей и математическая статистика. Руководство для выполнения контрольной работы: учебно-методическое пособие. – Казань: Редакционно-издательский центр, 2013. — с.

Пособие является методическим руководством для выполнения контрольной работы по теории вероятностей и математической статистике студентами заочной формы обучения.

Оно охватывает основные разделы начального курса теории вероятностей и математической статистики для студентов экономических специальностей: случайные события, случайные величины, случайные векторы, вариационные ряды, статистическое оценивание параметров, статистическую проверку гипотез, корреляционный анализ.

Каждый раздел содержит необходимые теоретические сведения, необходимые расчетные формулы, подробное решение типовой тестовой задачи и задания для самостоятельной работы.

Тема 1. Теория вероятностей

Случайные события

Комбинаторика

Комбинаторика рассматривает вопросы, связанные с подсчетом числа возможных комбинаций из элементов данного конечного множества.

Перестановки – комбинации, состоящие из одних и тех же элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Если все элементов различны, то число перестановок без повторений определяется формулой

Если среди элементов имеются элементов одного вида, — другого, — третьего и т. д., то число всех перестановок с повторениями определяется из выражения

Пример 1. Порядок выступления семи участников конкурса определяется жребием. Сколько вариантов жеребьёвки при этом возможно?

Решение. Каждый вариант жеребьёвки отличается только порядком участников конкурса, т.е. является перестановкой без повторений из семи элементов:

Пример 2. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «ананас»?

Решение. В слове «ананас» шесть букв, причем буква «а» повторяется три раза, а буква «н» — два раза. Следовательно, это будут перестановки из шести элементов с повторениями:

Размещения из элементов по элементов – это комбинации, составленные из данных элементов по элементов в каждой; причем два размещения считаются различными, если они отличаются, либо элементами, либо их порядком.

Если среди элементов нет одинаковых и повторение одного и того же элемента не допускается, то число размещений без повторений определяется формулой:

Если все элементов различны, но в размещениях допускаются повторения, то число размещений с повторениями находится:

Пример 3. В студенческой группе 30 человек. Необходимо выбрать старосту, его заместителя и профорга. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Из 30 человек требуется выбрать трёх – старосту, заместителя и профорга. Комбинации будут отличаться как составом элементов, так и их порядком, т.е. это будут размещения из 30 элементов по три без повторений (один студент не может быть одновременно и старостой, и, скажем, профоргом). Отсюда

Пример 4. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 фильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены различные призы?

Решение. Каждый из вариантов распределения призов представляет комбинацию пяти фильмов из 10, отличающихся от других комбинаций, как составом фильмов, так и их порядком по номинациям. При этом одни и те же фильмы могут повторяться (один фильм может получить призы по нескольким номинациям). Следовательно, это будут размещения с повторениями из 10 элементов по пять:

Сочетания из элементов по элементов — это комбинации по элементов из данных , отличающиеся одна от другой хотя бы одним элементом.

Для различных элементов из различных элементов верна формула:

Если элементов повторяются, то число сочетаний с повторениями определяется из выражения:

Пример 5. В лотерее «Спортлото» требуется угадать 6 номеров из 49. Сколькими способами можно выбрать 6 номеров?

Решение. Каждая комбинация из 6 номеров отличается только составом, порядок номеров не имеет значения. Поэтому число способов определяется числом сочетаний без повторения из 49 элементов по шесть:

Пример 6. В конкурсе по 5 номинациям участвуют 10 фильмов. Сколько существует вариантов распределения призов, если по каждой номинации установлены одинаковые призы?

Решение. В этом случае порядок следования фильмов в комбинации 5 призёров значения не имеет, и число вариантов представляет собой число сочетаний с повторениями из 10 элементов по пять:

Правило произведения. Если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов в указанном порядке может быть выбрана способами.

Пример 7. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную букву из слова «здание»?

Решение. В слове «здание» три гласных и три согласных буквы. Одну гласную букву можно выбрать способами, столькими же способами можно выбрать согласную. Отсюда искомое число способов найдется по правилу произведения:

Правило суммы. Если объект можно выбрать из совокупности объектов способами, а другой объект может быть выбран способами, то выбрать, либо , либо можно способами.

Пример 8. В коробке 10 красных, 3 синих и 7 жёлтых карандашей. Сколькими способами можно вынуть три карандаша одного цвета?

Решение. Три карандаша красного цвета можно выбрать способами, три карандаша синего цвета — способами, наконец, три карандаша жёлтого цвета — способами. Нужное число способов найдется по правилу суммы:

Источник: studopedia.ru