Паркеты в геометрии задачи

3 Задачи: 1. Изучить литературу о паркетах. 2. Найти исторический материал. 3. Научиться решать задачи.

4 Гипотеза: количество правильных паркетов бесчисленное множество.

5 Что такое паркет? Паркет — это такое покрытие плоскости многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.

6 Многоугольники Выпуклые ПравильныеПолуправильные Равноугольно- полуправильные Равносторонне- полуправильные Неправильные Невыпуклые

7 Многоугольники Многоугольник — замкнутая ломаная линия. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны.

8 Полуправильные многоугольники I) Выпуклый многоугольник с четным числом вершин называется равноугольно-полуправильным, если его стороны, взятые через одну, равны и все его углы равны. II) II) Выпуклый многоугольник с четным числом вершин называется равносторонне-полуправильным, если его углы, взятые через один, равны и все его стороны равны.

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

9 равносторонне- полуправильный многоугольник равноугольно- полуправильный многоугольник

10 Паркеты Из произвольных фигур Неправильные Правильные

11 Правильные паркеты Паркет называется правильным, если он составлен из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

12 Правильные паркеты Многоугольников в вершине ЧетыреПять ТриШесть

13 Паркеты с тремя многоугольниками в вершине

14 Паркеты с четырьмя многоугольниками в вершине

15 Паркеты с пятью многоугольниками в вершине

16 Паркеты с шестью многоугольниками в вершине

17 Паркеты из неправильных многоугольников Вообще можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого:

18 Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма. Еще плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами.

19 Паркеты из произвольных фигур

20 Задачи Докажите, что для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.

21 Я считаю, что цель моей работы достигнута. Выдвинутая мною гипотеза о бесконечном множестве правильных паркетов оказалась неверна: в ходе работы я выяснила, что правильных паркетов только 11.

22 Список литературы Васильев Н.Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. — М.: Наука, 1974, с. 15 /Библиотечка физико-математической школы, выпуск Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. — М.; Журнал //Квант С.9; С.25; С 3* С.27; С.21; С Журнал //Математика в школе – 3. – С.75; – С.59; Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант С Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. — М.- Наука, 1966, с Смирнова И.М.

✓ Миллион способов решить задачу по геометрии, почти совсем её не зная | Борис Трушин

В мире многогранников. — М.: Просвещение, Смирнова И.М., Смирнов В.А. Паркеты и их иллюстрации в графическом редакторе «Paint» //Математика в школе С.54.

23 Спасибо за внимание

Источник: www.myshared.ru

Паркеты в геометрии задачи

Внимание Скидка 50% на курсы! Спешите подать
заявку

Профессиональной переподготовки 30 курсов от 6900 руб.

Курсы для всех от 3000 руб. от 1500 руб.

Повышение квалификации 36 курсов от 1500 руб.

Лицензия №037267 от 17.03.2016 г.
выдана департаментом образования г. Москвы

Моделирование геометрического паркета из пятиугольников и шестиугольников

СУРГУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОГО ПАРКЕТА ИЗ ПЯТИУГОЛЬНИКОВ И ШЕСТИУГОЛЬНИКОВ

Секция 2.1: физико-математические науки (математика, физика, механика)

Руководитель: Совертков Петр Игнатьевич

§ 1. Моделирование паркета из шестиугольников

§ 2. Моделирование паркета из пятиугольников

Геометрическим паркетом или замощением плоскости, называется покрытие плоскости без пропусков и без перекрытий заданными фигурами.

Один из наиболее важных вопросов теории разбиения плоскости можно сформулировать так: «Какой формы должна быть плитка, чтобы ее копиями можно было заполнить плоскость сплошь без пробелов и двойных покрытий?» Наиболее общий ответ на данный вопрос неизвестен. Частные ответы зависят от условий, налагаемых на форму плиток. Не трудно проверить, что любым треугольником или любым четырехугольником [4] можно вымостить плоскость, в то время как выпуклый многоугольник с пятью или большим числом сторон не всегда позволяет выложить плоскость без пробелов и наложений. Например, невозможно выложить плоскость правильными пятиугольниками, хотя некоторыми пятиугольниками с двумя параллельными сторонами, пятиугольниками с равными сторонами [3] можно вымостить плоскость.

В книге «Математический цветник» [2] рассмотрены различные типы пятиугольников и шестиугольников, которыми можно замостить плоскость, но, к сожалению, в ней нет математической теории для моделирования этих пятиугольников и шестиугольников. Таким образом, актуальной задачей является формализация задачи, построение модели и разработка программы для построения паркетов из данных многоугольников.

Цель работы – разработать новые модели геометрического паркета.

выполнить моделирование для новых фундаментальных областей в зависимости от заданных параметров;
составить алгоритм построения новых паркетов;
разработать программу для построения паркета;

§ 1. Моделирование паркета из шестиугольников
Из — угольников одного типа, где , можно построить паркет при некоторых условиях на стороны и углы. Если окрестность точки замостить тремя многоугольниками без повторения его углов в этой вершине, то сумма углов должна быть равна полному углу, т.е. . При совмещении многоугольников сторонами получаем условие о равенстве некоторых сторон. К. Рейнхардт (1918 г.), Р.Б.

Кершнер (1968 г.), М. Гарднер (1975 г.), Р. Джеймс (1975 г.), Марджори Райс (1976 г.) [2, c . 183], получили ряд условий на пятиугольники и шестиугольники, из которых можно построить геометрический паркет. В первом разделе впервые выполнено моделирование и составлены алгоритмы построения геометрических паркетов из неправильных шестиугольников одного типа. Изменяя параметры, можно получить различные паркеты. Задача. Написать математическую модель для составления программы изображения паркета на экране компьютера, используя шестиугольник, изображенный на рис.1 . D С А E
O Рис.1. В

Как было замечено выше, из — угольников одного типа, где , можно построить паркет при некоторых условиях на стороны и углы. Для рассматриваемого шестиугольника определим следующие условия:
Легко проверить, что , поэтому этими углами можно замостить окрестность точки. Для составления программы изображения паркета из данного шестиугольника на экране компьютера, достаточно рассмотреть два шестиугольник a : ABCDEO и A ’ B ’ C ’ D ’ E ’ O ’ (рис.2). Шестиугольник A ’ B ’ C ’ D ’ E ’ O ’ получается из шестиугольника ABCDEO с помощью центральной симметрии относительно середины отрезка ОЕ . D С А E (О ’)
O (Е ’ )
В ’ А ‘ D’ С ‘ Рис.2

Рассмотрим математическую модель для составления программы изображения паркета на экране компьютера. Определимся с количеством параметров. Чтобы задать — угольник на плоскости, достаточно задать его вершины в прямоугольной декартовой системе координат, т.е. указать координат. Таким образом, для задания шестиугольника необходимо 12 параметров.

Введем координатную плоскость таким образом, чтобы начало координат совпадало с точкой О, а сторону ОА совместим с осью , тогда координаты точки О и ордината точки А известны и, следовательно, количество необходимых параметров становится равным , т.е. остается 9 параметров. С учетом параллельности и равенства сторон ОА и DC , необходимыми остаются 7 параметров. Это (рис. 3): 1) длины сторон: a = OA , b = AB , d = OD = CA , f = OE , 2) углы: . D С В А E O f b a d M x y Рис.3

Тогда координаты вершин шестиугольник a ABCDEO :
; ; .
Координаты вершин шестиугольник a :
; ; ; ; .
Все необходимые координаты определены, и паркет из рассматриваемого шестиугольника можно построить на экране компьютера. На вводимые параметры наложим естественные условия:

Но при построении шестиугольника с этими условиями могут возникнуть следующие конфигурации, приводящие к невыпуклым шестиугольникам: а) После последовательного построения отрезков OA , OE , ED и DC точки D и С окажутся расположенными по разные стороны от прямой OE , то есть возникнет один из случаев изображенных на рис. 4 или на рис. 5:
Рис.4 D С А E O D С А E O Рис.5

Но в выпуклом шестиугольнике точки D и С должны располагаться по одну сторону относительно прямой OE . Таким образом, на вводимые параметры необходимо наложить дополнительное условие:

б) При построении шестиугольника точки Е и О могут о казаться расположенными по разные стороны от прямой DC , но в выпуклом шестиугольнике точки Е и О должны располагаться по одну сторону относительно прямой D С иначе возникнет следующий случай невыпуклого шестиугольника: D С А E
O Рис.6 В
Н 1 Н 2

Данный случай возникнет, если ЕН 1 > D Н 2 .

С ледовательно, на вводимые параметры необходимо наложить еще одно условие:

Рассуждая аналогичным образом для точек В и О, получаем еще одно дополнительное условие:

Итак, если после введения параметров одно из условий (1), (2), (3) или (4) не выполняется, то программа должна предусмотреть возврат на уточнение параметров, чтобы избежать конфигураций, рассмотренных в случаях а) и б). Программа построения и примеры паркета из рассмотренного шестиугольника представлены в приложении 1 и в приложении 2 соответственно.
§ 2. Моделирование паркета из пятиугольников
Задача. Написать математическую модель для составления программы изображения паркета на экране компьютера, используя шестиугольник, изображенный на рис. 1. Для пятиугольника, изображенного на рис. 1, выполняются следующие условия: 1), (1) 2), (2) 3). (3)
x y a b c d = a b A B C D E Рис. 1

В классификации М. Гарднера [3, c .184], [1 , c . 196] и Марджори Райс [3, c .189] этому пятиугольнику присвоен тип № 2. Условия (2) и (3) не являются независимыми. Вычисляя сумму углов пятиугольника по формуле , получаем 540 0 , поэтому достаточно потребовать выполнение одного из условий (2), (3), тогда второе выполняется автоматически. Итак, уменьшая число параметров для пятиугольника на 2 на основании равенств (1), (3), получаем пять параметров для задания пятиугольника. Это (рис. 2.) 1) длины сторон: a = AE , b = ED , c = CB , 2) углы: .
x y a b c d = a be A B C D E Рис. 2

Для декартовой системы координат, изображенной на рисунке 2, получаем координаты вершин и векторов: . Для задания вектора введем вспомогательный угол , образованный этим вектором с положительным направлением оси Ох Для углов в точке D с учетом их ориентации имеем

Для задания вектора введем вспомогательный угол, образованный этим вектором с положительным направлением оси . Для углов в точке С имеем
, . ,

На вводимые параметры наложим естественные условия:
(4)
Но при построении пятиугольника с этими условиями могут возникнуть следующие конфигурации, приводящие к невыпуклым пятиугольникам: а) После последовательного построения отрезков ЕА, ED , DC для пятиугольника точки Е и С оказались расположенными по одну стороны относительно прямой AD (рис. 2, рис. 3), но в выпуклом многоугольнике точки Е и С должны располагаться по разные стороны относительно диагонали AD . a be A D E Рис. 2
С
d a b A D E Рис. 3
С
d

Две точки расположены по одну сторону относительно прямой, заданной уравнением , тогда и только тогда, когда выполняется условие
. (5)
Составим уравнение прямой AD . (6)
Неравенство (5) для точек и прямой (6) принимает вид

После упрощения получаем неравенство
(7)
Итак, если после введения параметров выполняется неравенство (7), то программа должна предусмотреть возврат на уточнение параметров, чтобы избежать конфигурации, рассмотренной в случае а). Рассмотрим второй способ нахождения аналитической характеристики случая а). Найдем величины ,

Функция на отрезке является монотонно убывающей функцией, поэтому из условия следует условие и наоборот. Если для введенных параметров выполняется условие
, (8) то следует повторить ввод параметров для пятиугольника. б) При построении отрезка СВ снова может возникнуть конфигурация, приводящая к невыпуклому пятиугольнику. a c d be A B C D E Рис. 4

Составим уравнение прямой АВ
.

Неравенство (4) для точек и прямой АС после упрощений принимает вид
(9)
Если для введенных параметров выполняется условие (9), то следует повторить ввод параметров для пятиугольника. с) При построении отрезка СВ снова может возникнуть конфигурация, приводящая к невыпуклому пятиугольнику.
a c d be A C D E Рис. 5

Чтобы избежать данной конфигурации необходимо потребовать, чтобы ордината точки В была меньше ординаты точки Е , то есть чтобы выполнялось следующее неравенство:
(10)
Если для введенных параметров выполняется условие (10), то следует повторить ввод параметров для пятиугольника. Координаты всех вершин пятиугольника определены, и пятиугольник можно построить на экране компьютера. По условию: , следовательно, этими углами можно замостить окрестность точки. Таким образом, для составления программы изображения паркета из данного пятиугольника на экране компьютера, достаточно рассмотреть три пятиугольник a : ABCDE , A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 и A 3 B 3 C 3 D 3 E 3 (рис. 6).
D 2 С 2 В 2 Е 2 С 3 D 3 В 3 А 3 Е 3 А 2 Е А С В D Рис.6

Рассмотрим математическую модель для составления программы изображения паркета на экране компьютера. Координаты вершин пятиугольник a ABCDE :

Пятиугольник A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 получаются из пятиугольник a ABCDE с помощью центральной симметрии относительно середины отрезка АВ . Тогда координаты вершин пятиугольник a A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 :

симметрии относительно оси Ох ;

Таким образом, для составления паркета из данного пятиугольника достаточно построить три пятиугольник a : ABCDE , A 2 B 2 C 2 D 2 E 2 и A 3 B 3 C 3 D 3 E 3 . Программа построения и примеры паркета из рассмотренного пятиугольника представлены в приложении 3 и в приложении 4 соответственно. После наложения условий (7)-(10) получаем паркет из выпуклых пятиугольников. Если снять некоторые условия из условий (4), тогда могут возникнуть случаи, когда шестиугольник выраждается в пятиугольник или четырехугольник, а пятиугольник вараждается в четырехугольник.

Гарнер М. Путешествие во времени. – М.: Мир, 1990. – 341 с.
Математический цветник. /Сост. и ред. Д.А.Кларнер. М.: Мир, 1983. – 494 с.
Совертков П.И., Енбаева Е.А. Равносторонний пятиугольник Рейнхардта// Элементарная математика, математическое образование, геометрия и информатика №3, СПб.: Мифрил, 2000, с. 68-75.
Совертков П.И.,Слива М.В., Хохлов Д.Н. Геометрический паркет – I // Элементарная математика, математическое образование, геометрия и информатика № 4, СПб.: Мифрил, 2000, с. 3-19.

Приложение 1
Программа для построения паркета из шестиугольника. Program shestiugolnik; uses graph; label 1,2; var a,z4,s4,b,d,f,xx,yy,grv,grm,x0,x1,j,i,x5,y5,x2,x3,x4,y0,t, u,y1,y2,y3, y4, z1,z2,z3,s1,s2,s3:integer;tex:string; q,w,e:real; begin grv:=detect; initgraph(grv,grm,’d:bpbgi’); 1: writeln(‘gelaete vvesti parametri?(y/n)’); readln(tex); if tex=’n’ then goto 2; writeln(‘vvedite storoni’); readln(a,b,d,f); xx:=-10;yy:=-10;t:=xx;u:=yy; writeln(‘vvedite ugli’); readln(q,w,e); q:=q*pi/180;w:=w*pi/180;e:=e*pi/180; i:=trunc(sin(e)*(f*sin(q)-d*sin(e))); j:=trunc(sin(e)*(b*sin(w)-d*sin(e))); if (i if (w e)and(q>0)and(q 0)and(w 0) and(e for j:=1 to trunc(900/a) do begin for i:=1 to trunc(600/(d*sin(e))) do begin x0:=xx+0;y0:=yy+0; x1:=xx+a;y1:=yy; x2:=xx+trunc(A+B*COS(W));y2:=yy+trunc(B*SIN(W)); x4:=xx+trunc(D*COS(E));y4:=yy+trunc(D*SIN(E)); x3:=xx+trunc(A+D*COS(e));y3:=yy+trunc(d*sin(e)); x5:=trunc(f*cos(q))+xx;y5:=trunc(f*sin(q))+yy; z1:=trunc(f*cos(q)-a)+xx;s1:=trunc(f*sin(q))+yy; z2:=trunc(f*cos(q)-a-b*cos(w))+xx;s2:=trunc(f*sin(q)-b*sin(w))+yy; z3:=trunc(f*cos(q)-a-d*cos(e))+xx;s3:=trunc(f*sin(q)-d*sin(e))+yy; z4:=trunc(f*cos(q)-d*cos(e))+xx;s4:=trunc(f*sin(q)-d*sin(e))+yy; xx:=xx+trunc(d*cos(e));yy:=yy+trunc(d*sin(e)); line(x0,y0,x1,y1); line(x1,y1,x2,y2); line(x2,y2,x3,y3); line(x3,y3,x4,y4); line(x4,y4,x5,y5); line(x5,y5,x0,y0); line(x5,y5,z1,s1); line(z1,s1,z2,s2); line(z2,s2,z3,s3); line(z3,s3,z4,s4); line(z4,s4,x0,y0); end; xx:=t+trunc(a+a-f*cos(q)+b*cos(w));t:=xx; yy:=u+trunc(b*sin(w)-f*sin(q));u:=yy; end; end else begin writeln(‘vi vveli nevernie parametri’);goto 1;end; end else begin writeln(‘vi vveli nevernie parametri’);goto 1;end; readln; 2: closegraph; end.
Приложение 2
Пример 1. Vvedite storoni 95 65 75 45 vvedite ugli 120 25 75

Пример 2. Vvedite storoni 50 25 38 20 vvedite ugli 110 29 65

Приложение 3
Программа для построения паркета из пятиугольника. program dip2; uses graph; label 1,2; var a,a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,a11,a12,i,j,xx,yy,b,c,vv,xa, xb,xc, xd, xe,ya,mm,yb,yc,yd,ye,x,y,grv,grm:integer;aa,qq,dd,tt,m1:real; tex:string[1]; begin initgraph(grv,grm,’d:bpbgi’); 1: writeln(‘gelaete vvesti parametri?(y/n)’); readln(tex); if tex=’n’ then goto 2; writeln(‘vvedite’);readln(aa,dd,a,b,c); aa:=aa*pi/180;dd:=dd*pi/180; tt:=aa+dd-pi; qq:=dd-pi; vv:=trunc(a*sin(aa+dd)-b*sin(dd)); m1:=(a*sin(aa+dd)-b*sin(aa))*(a*sin(aa)-a*sin(dd)-b*sin(-dd+aa)); mm:= trunc(m1); a1:=trunc(b*cos(aa)); a2:=trunc(b*sin(aa)); a3:=trunc(a*cos(tt)); a4:=trunc(a*sin(tt)); a5:=trunc(c*cos(qq)); a6:=trunc(c*sin(qq)); a7:=trunc(b*cos(dd)); a8:=trunc(b*sin(dd)); a9:=trunc(c*cos(aa)); a10:=trunc(c*sin(aa)); a11:=trunc(c*cos(aa)); a12:=trunc(c*sin(aa)); if (mm 0)and(b>0)and(c>0)and(aa>0)and(aa 0) and(dd if (vv 0) then begin x:=-300;y:=0;xx:=x;yy:=y; for j:=1 to 20 do begin xx:=xx+a+a3+a5+a11; yy:=yy-a4-a6-a12; for i:=1 to 10 do begin xe:=x; ye:=y; xa:=x+a; ya:=y; xd:=x+a1; yd:=y-a2; xc:=x+a1+a3; yc:=y-a2-a4; xb:=x+a1+a3+a5; yb:=y-a2-a4-a6; line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye); line(xe,ye,xa,ya); xe:=x+a+a1+a3+a5; ye:=y-a2-a4-a6; xa:=x+a1+a3+a5; ya:=y-a2-a4-a6; xd:=x+a+a3+a5; yd:=y-a4-a6; xc:=x+a+a5; yc:=y-a6; xb:=x+a; yb:=y; line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye); line(xe,ye,xa,ya); xe:=x+a1+a3+a5+a7; ye:=y-a2-a4-a6-a8; xa:=x+a1+2*a3+a5+a7; ya:=y-a2-2*a4-a6-a8; xd:=x+a1+a3+a5; yd:=y-a2-a4-a6; xc:=x+a+a1+a3+a5; yc:=y-a2-a4-a6; xb:=x+a+a1+a3+a5+a9; yb:=y-a2-a4-a6-a10; line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye); line(xe,ye,xa,ya); xd:=x+a; yd:=y; xc:=x; yc:=y; xe:=x+a-a7; ye:=y+a8; xa:=x+a-a3-a7; ya:=y+a4+a8; xb:=x-a11; yb:=y+a12; line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye); line(xe,ye,xa,ya); x:=x+a-a1-a3-a7; y:=y+a2+a4+a8; xe:=x; ye:=y; xa:=x+a; ya:=y; xd:=x+a1; yd:=y-a2; xc:=x+a1+a3; yc:=y-a2-a4; xb:=x+a1+a3+a5; yb:=y-a2-a4-a6; line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye); line(xe,ye,xa,ya); xe:=x+a+a1+a3+a5; ye:=y-a2-a4-a6; xa:=x+a1+a3+a5; ya:=y-a2-a4-a6; xd:=x+a+a3+a5; yd:=y-a4-a6; xc:=x+a+a5; yc:=y-a6; xb:=x+a; yb:=y; line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye); line(xe,ye,xa,ya); xe:=x+a1+a3+a5+a7; ye:=y-a2-a4-a6-a8; xa:=x+a1+2*a3+a5+a7; ya:=y-a2-2*a4-a6-a8; xd:=x+a1+a3+a5; yd:=y-a2-a4-a6; xc:=x+a+a1+a3+a5; yc:=y-a2-a4-a6; xb:=x+a+a1+a3+a5+a9; yb:=y-a2-a4-a6-a10; line(xa,ya,xb,yb);line(xb,yb,xc,yc);line(xc,yc,xd,yd);line(xd,yd,xe,ye); line(xe,ye,xa,ya); end; x:=xx; y:=yy; end; end else begin writeln(‘oshibka 1’);goto 1;end; end else begin writeln(‘oshibka 2’);goto 1;end; readln; 2: closegraph;end.

Приложение 4
Пример 1. vvedite 75 120 75 45 25

Пример 2. vvedite 85 150 75 85 95

Источник: doc4web.ru

Замощения

Несложно замостить плоскость паркетом из правильных треугольников, квадратов или шестиугольников (под замощением мы понимаем такую укладку, при которой вершины каждой фигуры прикладываются только к вершинам соседних фигур и не возникает ситуации, когда вершина приложилась к стороне). Примеры таких замощений приведены на рис. 1.

Рис. 1. Замощение плоскости: i — равносторонними треугольниками, ii — квадратами, iii — правильными шестиугольниками

Никакими другими правильными n-угольниками покрыть плоскость без пробелов и наложений не получится. Вот как можно это объяснить. Как известно, сумма внутренних углов любого n-угольника равна (n – 2) · 180°.

Поскольку все углы правильного n-угольника одинаковые, то градусная мера каждого угла есть . Если плоскость можно замостить такими фигурами, то в каждой вершине сходится k многоугольников (для некоторого k). Сумма углов при этой вершине должна составлять 360°, поэтому . После нескольких простых преобразований это равенство превращается в такое: . Но, как легко проверить, последнее уравнение имеет только три пары решений, если считать, что n и k натуральные числа: k = 3, n = 6; k = 4, n = 4 или k = 6, n = 3. Этим парам чисел как раз и соответствуют приведенные на рис. 1 замощения.

А какими другими многоугольниками можно замостить плоскость без пробелов и наложений?

Задача

а) Докажите, что любым треугольником можно замостить плоскость.

б) Докажите, что любым четырёхугольником (как выпуклым, так и невыпуклым) можно замостить плоскость.

в) Приведите пример пятиугольника, которым можно замостить плоскость.

г) Приведите пример шестиугольника, которым нельзя замостить плоскость.

д) Приведите пример n-угольника для какого-либо n > 6, которым можно замостить плоскость.

Подсказка 1

В пунктах а), в), д) можно попытаться составить из одинаковых фигур «полоски», которыми потом легко замостить всю плоскость.

Пункт б): сложите из двух одинаковых четырехугольников шестиугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такими шестиугольниками замостить плоскость уже достаточно просто.

Пункт г): используйте тот факт, что сумма углов при каждой вершине должна быть равна 360°.

Подсказка 2

В пункте д) можно попробовать действовать и по-другому: немного менять уже имеющиеся фигуры, чтобы получались новые замощения.

Решение

Примеры ответов изображены на рисунках.

Источник: elementy.ru