Если в одной вершине паркета сходится m правильных n — угольников, то должно выполняться равенство откуда
Возможными допустимыми значениями n являются 3, 4 и 6. При остальных значениях n число m оказывается дробным. В частности, нельзя заполнить плоскость правильными пятиугольниками.
Расширим способы составления паркетов из правильных многоугольников, разрешив использовать в них правильные многоугольники с различным числом сторон.
Обозначим через a 1 , a 2 , … углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания. Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360 ° , составим таблицу, содержащую возможные наборы углов и укажем соответствующие паркеты.
| a 1 | a 2 | a 3 | a 4 | a 5 | a 6 | a 1 + a 2 +…=360 ° |
| 60 ° | 60 ° | 60 ° | 60 ° | 60 ° | 60 ° | Паркет из 3-ов (рис. 2) |
| 60 ° | 60 ° | 60 ° | 60 ° | 120 ° | Паркет из 3-ов и 6-ов (рис. 4) | |
| 60 ° | 60 ° | 60 ° | 90 ° | 90 ° | Два паркета из 3-в и 4-в (рис. 5 , 6) |
|
| 60 ° | 60 ° | 90 ° | 150 ° | Нет паркета | ||
| 60 ° | 60 ° | 120 ° | 120 ° | Паркет из 3-в и 6-в (рис. 7) | ||
| 60 ° | 90 ° | 90 ° | 120 ° | Паркет из 3-в, 4-в и 6-в (рис. 8) | ||
| 60 ° | 150 ° | 150 ° | Паркет из 3-в и 12-в (рис. 9) | |||
| 90 ° | 90 ° | 90 ° | 90 ° | Паркет из квадратов (рис. 1) | ||
| 90 ° | 120 ° | 150 ° | Паркет из 4-в, 6-в и 12-в (рис. 10) | |||
| 90 ° | 135 ° | 135 ° | Паркет из 4-в и 8-в (рис. 11) | |||
| 120 ° | 120 ° | 120 ° | Паркет из 6-ов (рис. 3) |
Паркет Кершнер 8. Наложение паркета на разные поверхности
Художественный паркет — классика в паркетных работах.
Таким образом, всего имеется 11 типов правильных паркетов.
Рассмотрим теперь вопрос о заполнении плоскости неправильными равными многоугольниками.
Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.
Доказательство. Пусть дан четырехугольник АВС D (рис. 12). Рассмотрим центрально симметричный ему четырехугольник относительно середины стороны АВ. Исходный четырехугольник АВСD обозначим цифрой 1, а симметричный — цифрой 2. Теперь четырехугольник 2 отразим симметрично относительно середины его стороны ВС.
Полученный четырехугольник обозначим цифрой 3 и отразим его симметрично относительно середины его стороны CD . Полученный четырехугольник обозначим цифрой 4. Четырехугольники 1, 2, 3 и 4 примыкают к общей вершине углами А, В, С и D . А так как сумма углов четырехугольника равна 360 ° , то эти четырехугольники заполнят часть плоскости вокруг общей вершины. Такое же построение можно провести вокруг каждой новой вершины, что и даст искомое заполнение плоскости. Заметим, что четырехугольники, закрашенные одним цветом (рис. 12), получаются друг из друга параллельным переносом.
Заполнение плоскости может быть произведено не только многоугольниками, но и фигурами более сложного вида. Повторяющиеся равные фигуры являются основой составления орнаментов, с давних времен привлекавших к себе внимание людей. Знаменитый голландский художник Мариус Эшер (1898-1972) посвятил орнаментам несколько своих картин. Среди них: «Всадники» (рис. 13), «Летящие птицы» (рис.
14); «Ящерицы» (рис. 15).
Рис. 13
Литература
1. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. – М.- Наука, 1966, с. 100.
2. Васильев Н.Б. и др. Математические соревнования. Геометрия. – М.: Наука, 1974, с.15 /Библиотечка физико-математической школы, выпуск 4.
3. Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. – М.; 1961.
5. Заславский А. Паркеты и разрезания //Квант. – 1999. — № 2. – С.32.
6. Смирнова И.М. В мире многогранников. – М.: Просвещение, 1995.
7. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Паркеты и их иллюстрации в графическом редакторе “Paint” //Математика в школе. – 2000. — № 8. – С.54.
8. Журнал //Квант. 1979. — № 2. – С.9; 1980. — № 2. – С.25; 1986. — № 8. – С.3; 1987. — № 6. – С.27; 1987. — № 11. – С.21; 1989. — № 11. – С.57.
9. Журнал //Математика в школе. 1967. — № 3. – С.75; 1986. № 1. – С.59;
Источник: vasmirnov.ru
Повторение узора (параллельный перенос)
Для того, чтобы начать разговор о паркетах, сперва следует определиться с методом составления паркетов — параллельным переносом .
1. Возьмите мозаику, постройте узор из 3-5 фишек и попросите ребёнка сделать узор, многократно повторяющий Вашу фигуру.
2. Подумайте, где в жизни можно увидеть параллельный перенос? Придумайте побольше вариантов. Даю одну подсказку: цепочка следов на снегу 🙂
Следующие узоры Эшера состоят из фигур, заполняющих всю плоскость без наложений при параллельных переносах :
Больше картин М.Эшера из цикла «Симметрия» на официальном сайте: http://www.mcescher.com/gallery/symmetry/
Увлечь ребёнка составлением паркетов можно, например, через составление аппликациий из подобных «птичек»:
Паркеты
М.Эшер говорил: «Хотя я абсолютно несведущ в точных науках, мне иногда кажется, что я ближе к математикам, чем к моим коллегам-художникам».
В 1965 г. Каролина Макгиллвэри написала книгу о паркетах Эшера.
C. H. McGillivray. « Symmetry aspects of M. C. Escher’s periodic drawings »
This third edition of the book contains 42 periodic drawings (30 black-and-white and 12 in colour) by the world-famous Dutch artist, M. C. Escher. Their symmetry aspects are discussed by Professor Caroline MacGillavry.
Паркет – это орнамент, заполняющий лист бумаги (плоскость) без промежутков.
М.Эшер интересовался всеми видами мозаик: •регулярными (регулярное замощение плоскости возможно только тремя правильными многоугольниками: треугольником, квадратом и шестиугольником ) •нерегулярными (нерегулярные мозаики образуют не повторяющиеся узоры) •Эшер ввёл собственный вид, который назвал «метаморфозами», где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.
Изображения всех геометрических фигур, используемых в картинах М.Эшера: квадрат, прямоугольник, параллелограмм, треугольник, ромб и шестиугольник .
Так как с помощью круга нельзя построить паркет (круги заполняют плоскость с промежутками), то художник не использовал эту геометрическую фигуру.
Расчертив рисунок параллельными прямыми и получив таким образом сетку квадратов, видим, что паркет получен параллельными переносами квадратов. Если раньше паркет можно было составить из «птичек», то сейчас паркет можно составить из квадратов, содержащих одинаковые фрагменты «птичек».
Рисунки из книги: Наглядная геометрия. 5-6 кл.: пособие для общеобразовательных учреждений / И.Ф.Шарыгин, Л.Н.Ерганжиева. – 14 изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2012. – 189, [3] с.: ил.
М.Эшер всю жизнь мечтал, что его многочисленные мозаики станут украшением полов и стен. Его рисунок для паркета «Ящерицы» («Lizard») был воплощен в форме паркетных досок в испанской компании Arbore, которая специализируется на дизайне полов. Такой пол стал единственным в своем роде. Проект был реализован в одной квартире в Мадриде, где компания Arbore отвечала за оформление полов. Рисунок был существенно упрощен, но любой, даже мельком глянувший на него, сразу узнает фирменный узор в виде ящериц.
Источник: mathlife.ru
паркеты
•Паркет (или мозаика) есть бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий.
•Требование: «два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек»
Скачать:
 parkety.pptx |
1.43 МБ |
Предварительный просмотр:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
Паркет Выполнил ученик 6в МОУ «СОШ №80 с УИОП» г.Хабаровска Соколов Иван
Геометрические паркеты Паркет (или мозаика) есть бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Требование: «два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек»
Правильные паркеты Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/ n . В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/ n . Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.
Паркет из правильных многоугольников Существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) — два варианта паркета; (3,4,4,6) — четыре варианта; (3,3,3,4,4) — четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках — обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 — правильный треугольник, 4 — квадрат, 6 — правильный шестиугольник, 12 — правильный двенадцатиугольник). Некоторые варианты паркета : (4,8,8) (3,3,6,6) (4,6,12) (3,4,4,6)
Паркеты из неправильных многоугольников Легко покрыть плоскость параллелограммами. Можно замостить плоскость копиями произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого.
Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма Плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». Существуют паркеты из невыпуклых семиугольников.
Паркеты из произвольных фигур Паркетом ( расширенное определение) называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае — многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). Н е соблюдается требование «два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек»; кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур.
Способы построения произвольных паркетов 1 способ: берем некоторую сетку (уже известный нам паркет) — из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что и у отрезков. Паркеты , полученные заменой отрезков «квадратной» сетки некоторыми кривыми или ломаными.
Способы построения произвольных паркетов 2 способ: объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Паркеты , полученные в результате объединения элементов квадратной сетки . Паркет , каждый элемент которого получен в результате объединения пяти правильных треугольников.
Способы построения произвольных паркетов 3 способ: . берем существующую сетку и дополняем ее новыми линиями. Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. В частном случае — накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета. Перкеты полученные разбиением сетки из греческих крестов.
Способы построения произвольных паркетов 4 способ: выбираем некоторую кривую или ломаную и начинаем ее переносить на некоторый вектор, поворачивать, отражать. получившиеся кривые или ломаные размещаем на плоскости таким образом, чтобы они образовали замкнутые контуры (которые в дальнейшем будут рассматриваться как элементы паркета). Если рассматривать только незамкнутые кривые и ломаные, паркеты будут напоминать полученные способом1. Паркеты, полученные с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников. Для получения этого паркета была взята дуга спирали, три раза повернута на 90°, а затем к получившейся фигуре был применен параллельный перенос.
Художественные паркеты Паркет — натуральное деревянное напольное покрытие. Современный паркет многолик — от привычного штучного паркета, уложенного строгой палубой, до искусственного заменителя — ламинированного паркета ( ламината ).
Источник: nsportal.ru