Паркет (сетка, мозаика или кристалл) — бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Существует три вида правильных многоугольников, полностью заполняющих плоскость треугольник, квадрат и шестиугольник (рис. 32 а, б, в, г, д).
Рис. 32 а, б, в. Правильные многоугольники полностью покрывающие плоскость.
ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК 9 класс геометрия Атанасян
Рис. 32 г. Пол в аббатстве Сен-Мишель, Франция. 
Рис. 32 д. Пол в королевском замке Блуа, Франция. Х11 — XV111 в. Плоскость можно покрыть прямоугольниками. Существует всего 6 вариантов регулярного покрытия плоскости прямоугольниками.
Каждый вариант обладает своим набором осей и плоскостей симметрии. Эти узоры мы можем видеть в паркетных полах, кирпичной кладке и мощении тротуаров плиткой. На рис. 23 — 26 показаны все 6 видов узоров и покрытия полов и тротуаров.. 
Рис.
23 а, б. Три плоскости симметрии и три оси симметрии. 
Рис. 24. Одна ось симметрии 4-го порядка. Рис.
25. Нет осей или плоскостей симметрии. 
а б Рис. 26. Сдвиг по полосе на 1/3 длины. а – три оси симметрии, б – две оси и плоскость. 
Рис. 27.
Тротуар в Амстердаме (см. рис. 25). Если использовать другие правильные многоугольники, то известны комбинации разных правильных многоугольников, также образующих паркеты. Будем обозначать многоугольники цифрами по числу их вершин: 3 — правильный треугольник, 4 — квадрат, 6 — правильный шестиугольник, 12 — правильный двенадцатиугольник.
9 класс, 24 урок, Формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны
Тогда можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,3,3,3,3,3) (рис. 21 а); (4,4,4) (рис. 21 б); (6,6,6) (рис. 21 в); (4,8,8) (рис. 28 а), (3,3,6,6) — два варианта паркета (рис.
28 б); (4,6,12) (рис. 28 в); (3,4,4,6) — четыре варианта (рис. 28 г); (3,3,3,4,4) — четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,12,12); (цифры в скобках — обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине. 
Варианты паркетов. Можно доказать, что не существует других вариантов укладки паркета из правильных многоугольников (при условии, что любые два многоугольника в паркете имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек). Паркеты из неправильных многоугольников Если многоугольники образуют полосу, то ими легко покрыть плоскость (рис.
29) 
Рис. 29. Узоры на полосе, образующие паркет. Плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами.
До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Зато доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». В то же время существуют паркеты из невыпуклых семиугольников. Паркеты из произвольных фигур Существует несколько способов построения паркетов из произвольных фигур. Способ первый.
Берем уже известный нам паркет из правильных треугольников, шестиугольников, квадратов, или из произвольных многоугольников, и выполняем преобразования: сжатие/растяжение, замена прямолинейных отрезков кривыми с началом и концом в тех же точках, что у отрезков. На рис. 30 показаны паркеты, полученные их деформированных 4-х и 6-угольников.
Рис. 30.
Паркеты из деформированных правильных многоугольников. Способ второй. Объединяем отдельные элементы уже существующих паркетов. Примеры: паркеты, полученные в результате объединения элементов квадратной сетки (рис. 31 а, б), паркет, каждый элемент которого получен в результате объединения пяти правильных треугольников (рис.
31 в) 
а б в Рис. 31. Паркеты полученные объединением элементов существующих паркетов. Способ третий. Берем существующий паркет и дополняем новыми линиями.
Получаем разбиение плоскости на фигуры, которые затем можно по-новому объединить. Например, накладываем друг на друга две (или более) сетки уже известных паркетов, смещая или поворачивая одну сетку относительно другой; фигуры, образовавшиеся при пересечении линий, считаем элементами паркета.
Пример, трансформация сетки из греческих крестов, причем сами греческие кресты получены из паркета, состоящего из обычных квадратов (рис.32): 
Рис. 32.
Паркеты, полученные преобразованием сетки из греческих крестов Паркеты могут быть получены с помощью параллельного переноса звездчатых многоугольников (рис. 33): 
Паркет (роспись стен) из звездчатых многоугольников (замок Блуа, Франция). Рис. 33. Паркеты из звездчатых многоугольников.Совмещая вершины звездчатых многоугольников, получаем паркеты, состоящие из правильных восьмиугольников, равнобедренных прямоугольных треугольников, а также из звездчатых 16-угольников, напоминающих мальтийский крест.
Ограничение
Для продолжения скачивания необходимо пройти капчу:
Источник: studfile.net
Паркеты из многоугольников
Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание
людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над
созданием паркетов – орнаментов трудились многие
поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры
красоты.
Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами
покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий
Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но
оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни
один дизайнер не обойдется, ни один человек, который
собирается сделать ремонт.
С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни.
Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший
паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно
придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.
ВВЕДЕНИЕ.
3. Что такое паркет?
Парке́т — замощение плоскости многоугольниками без
пробелов и перекрытий, в котором любые два
многоугольника имеют либо общую сторону, либо только
общую вершину, либо вовсе не имеют общих точек.
ЧТО ТАКОЕ ПАРКЕТ?
4. Терминология.
Паркеты иначе
называются замощениями, мозаиками разбиениями
плоскости паркетажами. Замощения трёхмерного
пространства и пространств высших размерностей часто
называют со́тами.
Паркеты с областями (плитками) произвольной формы
иногда называют картами.
ТЕРМИНОЛОГИЯ.
5. Виды паркетов.
Правильные паркеты
Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников,
называют правильными паркетами. Существует три правильных замощения
плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет.
Шестиугольный
Паркет.
Квадратный
Паркет.
ВИДЫ ПАРКЕТОВ.
Треугольный
Паркет.
6. Полуправильные паркеты.
Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие,
что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии
(самосовмещение), переводящее одну из них в другую,
называются полуправильными паркетами или архимедовыми паркетами.
Существует 8 полуправильных паркетов. Один из восьми полуправильных паркетов
(курносый тришестиугольный паркет[en]) является хиральным, то есть не совпадает с
собственным зеркальным отражением.
Курносый тришестиугольный паркет.
ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ ПАРКЕТЫ.
7. Остальные виды паркетов.
Квазиправильный паркет (или многогранник)— однородный паркет (или
многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой
вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа.
Неоднородные паркеты Существует бесконечное множество неоднородных
паркетов, состоящих из правильных многоугольников.
Сферический паркет или сферический многогранник —
разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов.
ОСТАЛЬНЫЕ ВИДЫ ПАРКЕТОВ.
8. Задачи на паркетах.
Большое количество задач и головоломок связано с
разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на
плитки из определённого заданного множества протоплиток.
Сами протоплитки при этом могут представлять
собой связные объединения ячеек правильного паркета.
ЗАДАЧИ НА ПАРКЕТАХ.
9. Паркеты в природе.
Пчелы-удивительные творения природы. Геометрические
способности пчел проявляются при построении сот. Если
разрезать пчелиные соты плоскостью, перпендикулярной их
ребрам, то станет видна сеть равных друг другу правильных
шестиугольников, уложенных в виде паркета.
ПАРКЕТЫ В ПРИРОДЕ.
10. Вывод.
По результатам работы можно сделать следующие выводы: паркеты из правильных многоугольников можно сделать
только с помощью правильных треугольников, квадратов и
правильных шестиугольников. с помощью неправильных
многоугольников можно придумать огромное количество
паркетов. в основе создания паркета лежит деление
плоскости на многоугольники. количество полуправильных
паркетов конечно и равно 8. из правильных: треугольника,
квадрата и шестиугольника одинаковой площади
наименьший периметр будет у шестиугольника.
ВЫВОД.
Источник: ppt-online.org
Презентация, доклад по математикеПаркет из многоугольников
Что такое паркет?В математике паркетом называют заполнение плоскости повторяющимися фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства. Тетрадный лист в клеточку представляет собой
- Главная
- Геометрия
- Презентация по математикеПаркет из многоугольников
Слайд 1
«Паркет из многоугольников»
Слайд 2 Что такое паркет?
В математике паркетом называют
заполнение плоскости повторяющимися фигурами (элементами паркета), которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства.
Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат.
Элементом паркета является также равносторонний треугольник, правильный шестиугольник, произвольный параллелограмм, даже произвольный четырехугольник. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркетов.
Слайд 3 Виды паркетов
Из неправильных
многоугольниковИз неправильных многоугольников;
Из фигур, полученных комбинацией квадратовИз фигур, полученных комбинацией квадратов;
Из фигур, полученных комбинацией половинок и четвертинок окружности.
Из правильных многоугольниковИз правильных многоугольников;
Слайд 4 Правильный многоугольник — это выпуклый многоугольник, у которого все
углы равны и все стороны равны
Паркеты из правильных
многоугольников.
Слайд 5Правильные многоугольники в природе
Почему пчелы «выбрали» себе для ячеек на сотах
форму правильного шестиугольника?
Строя шестиугольные ячейки пчелы наиболее экономно используют площадь внутри небольшого улья и воск для изготовления ячеек.
Причем пчелиные соты представляют собой не плоский, а пространственный паркет, поскольку заполняют пространство так, что не остается просветов.
И как не согласиться с мнением пчелы из сказки «Тысяча и одна ночь»: «Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот».
Слайд 6Из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет?
Углы правильного n-угольника
равны 180⁰∙(n-2): n,
где n- число сторон многоугольника. С помощью паркета мы можем замостить плоскость. Если в одной точке плоскости сходятся m одинаковых правильных n-угольников, то должно выполняться равенство:
m ∙ 180⁰ ∙ (n-2) : n=360⁰
После преобразования получаем: m = 2 ∙ n : (n-2).
Для пятиугольника m получается дробным числом, значит, пятиугольниками заполнить плоскость нельзя.
Паркеты из правильных многоугольников:
Слайд 7 Если при составлении паркета использовать несколько правильных
многоугольников с различным числом сторон, то такой паркет называется полуправильным.
Слайд 8 Паркеты из неправильных
многоугольников
Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма.
Легко покрыть плоскость параллелограммами
Слайд 9 Для заполнения плоскости неправильными четырехугольниками, возьмем произвольный четырехугольник ABCD и построим
симметричный ему относительно середины стороны АВ четырехугольник. Исходный обозначим цифрой I, а симметричный — цифрой II. Теперь четырехугольник II отразим симметрично относительно середины его стороны ВС. Полученный четырехугольник обозначим цифрой III и отразим его симметрично относительно середины стороны CD. Полученный четырехугольник обозначим цифрой IV.
Четырехугольники I,II,III,IV примыкают к общей вершине углами A,B,C,D. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусам, поэтому четырехугольники заполнят плоскость вокруг общей вершины .
Паркеты из неправильных многоугольников
Слайд 10На рисунке приведен паркет, элементами которого являются одинаковые пятиугольники с углами
90°, 120°, 60°, 240° и 30°, которые получились разбиением правильного шестиугольника.
Паркеты из неправильных многоугольников
Источник: shareslide.ru