Геометрические паркеты
Паркет (или мозаика) — бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Иногда паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек; но мы будем рассматривать как правильные, так и неправильные многоугольники.
Итак, какими же многоугольниками можно замостить плоскость?
Паркеты из одинаковых правильных многоугольников
Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/n. В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/n. Преобразуем отношение этих чисел:
Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.
Правильные и полуправильные многогранники
Сумма углов треугольника площади S на сфере единичного радиуса больше числа пи на величину S.
Сумма всех углов, образованных «сферическими лучами», выходящими из одной точки равна двум пи. Если это углы шести равносторонних треугольников , составляющих шестиугольник, то угол треугольника равен пи/3, т.е. сумма углов треугольника равна пи, т.е. площадь каждого треугольника равна нулю.
Вывод: правильный сферический шестиугольник невозможно разрезать на правильные треугольники.
Дополнительно заметим, что правильные шестиугльники, имеющие общую сторону, равны; если два шестиугольника имеют налегающие стороны, то эти стороны совпадают, т.е. это общая сторона (т.к. шестиугольники по условию покрывают всю сферу и не имеют острых углов). Следовательно, если сферу разбить на правильные шестиугольники, то это непременно центральная проекция на сферу некоторого правильного многогранника состоящего из шестиугольных граней. Но среди пяти платоновых тел таких не наблюдается
Здесь как очевидное использованы факты:
1) равенство (сферических) треугольников по трем сторонам;
2) если из данных треугольников сложен многоугольник, то мы предполагаем, что их налегающие стороны являются общими и потому равны;
3) против равных углов в треугольнике лежат равные стороны и наоборот.
Эти факты очевидны не только в евклидовой планиметрии, но и в сферической.
На футбольном мяче можно сложить правильный пятиугольник из пяти правильных треугольников с углами 72 градуса. Площадь такого треугольника равна пи/5, а пятиугольника пи. Треугольники можно расположить только одним способом — центральная проекция на сферу вписанного икосаэдра. Это расположение из 20 треугольников можно представить как объединение двух центрально симметрично расположенных пятиугольников и разделяющего их пояса в виде правильной антипризмы Архимеда (проекция на сферу). Теоретически кажется возможным разбить поверхность сферы на 4 пятиугольника, но это не так, ибо в одной вершине не могут сойтись 6 треугольников.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Если не ошибаюсь, мяч покрывают пятиугольниками и квадратами неразбиваемыми на правильные треугольники. Надо подобрать полуправильный многогранник, который имеет такое сферическое изображение.
Но мяч (точнее — геометрическую сферу) можно склеить из 12 правильных пятиугольников — это проекция на сферу вписанного в нее додекаэдра. Эти пятиугольники можно составить из равнобедренных, но не равносторонних треугольников. Еще сферу можно склеить из 8 (проекция октаэдра) или 4-х (тетраэдр) треугольиков или 6-и квадратов (куб).
Для вычислений следует использовать следующие соображения: угол на сфере (между дугами больших кругов) равен двугранному углу (между этими кругами); площадь треугольника вычисляется через сумму углов (см. выше), и любого многоугольника тоже (теорема Гаусса-Бонне — см. справочник или учебник диф. геометрии), формулы сферической тригонометрии (теорема синусов и косинусов) можно найти в справочнике, если правильные треугольники имеют одинаковую площадь, то они равны (тоже о правильных многоугольниках). Площадь сферы 4пи (мы говорим о единичной сфере.
Паркеты из неправильных многоугольников
Торовая поверхность
Можно замостить поверхность тора трапециями
Расчетные параметры
Площадь S = 3617.655418 мм2
Объем V = 6657.240374 мм3
Трапециями и прямоугольниками
Площадь S = 5226.428858 мм2
Объем V = 16797.188381 мм3
Источник: glotova-rita.livejournal.com
Проект «Геометрические паркеты»
проект по геометрии (8 класс)
Паркеты с древних времен привлекали к себе внимание людей. Паркеты являются своеобразными орнаментами. Над созданием паркетов – орнаментов трудились многие поколения мастеров, подчас создавая истинные шедевры красоты.
Тема «Паркеты» актуальна и в наши дни. Паркетами покрывают полы в домах, украшают стены комнат и зданий Каждому из нас хочется, чтобы было не только прочно, но оригинально и красиво, поэтому без многоугольников ни один дизайнер не обойдется, ни один человек, который собирается сделать ремонт.
С паркетами мы встречаемся в повседневной жизни. Тетрадный лист в клеточку представляет собой простейший паркет. Элементом паркета здесь является квадрат. Можно придумать сотни, тысячи разных элементов паркета.
- Выяснить, число паркетов, составленных из правильных одноимённых многоугольников, конечно?
- Создание своего математического паркета.
- Изучить информацию о возникновении и развитии паркетного искусства.
- Что означает математический паркет, и как его создать.
- Рассмотреть примеры не математических паркетов.
Выдвинута проблема: Какими правильными многоугольниками можно замостить плоскость?
Объект исследования — паркеты.
- Анализ литературы.
- Систематизация материала.
- Метод аналогии.
Слово «паркет» имеет благородное французское происхождение. Однако в средние века во Франции им обозначали небольшой парк, немного спустя — предназначенную для аудиенций часть зала, покрытую ковром. Ковры постепенно исчезли, паркетные полы стали частью интерьера, так же искусно выполненной, как настенные гобелены.
Русский паркет, насчитывающий несколько сот лет своего существования и имевший самые разнообразные формы, прошел длительный путь своего развития. В России паркетные полы были нововведением Петра I., который привез целый цех краснодеревщиков с Запада, в частности, из Германии. Полы в русских постройках, начиная со времен Петра, приобрели иной, художественный, вид. Ассортимент деревьев, употребляемых для паркета, увеличивался, и наряду с местными отечественными породами: березой, орехом, сосной, лиственницей, кленом, дубом, буком, грабом, ясенем, вязом, грушей, яблоней, ольхой, можжевельником, карагачем и кизилем — стали все более и более применять редкие и дорогостоящие сорта привозных «заморских» деревьев. В зависимости от употребляемых материалов паркеты носили различные названия: цветные (т. е. набранные из привозных деревьев), полу цветные, штучные (набранные из местных пород) и дубовые.
Сейчас, в начале ХХI века, несмотря на развитие науки и техники, можно сомневаться — все ли технологические тайны старых мастеров-паркетчиков удалось восстановить. Можно сказать, что благодаря буквально нескольким мастерам — реставраторам искусство художественного паркета в нашей стране сохранилось до наших дней.
Правда, технология со временем изменяется, детали орнамента и рисунка сегодня вырезаются уже не вручную, а на станках и с применением лазера и компьютера, появилось много машин, облегчающих труд.
Паркетом называют замощение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой ими без просветов и двойных покрытий.
2.1. Паркеты из правильных одноименных многоугольников.
Плоскость можно покрыть правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек. Из каких же правильных одноименных многоугольников можно составить паркет? Самый простой вариант – это из квадратов. А ещё есть варианты? Давайте разбираться.
Решение нашей задачи естественно начать с исследования вершин паркета.
Сколько сходится многоугольников в одной вершине? Если это квадраты, то четыре. Два многоугольника сходиться не могут, поскольку не существует многоугольника, у которого угол равняется 180 ° . Если сходятся три многоугольника, то каждый угол должен равняться по 120 ° , а это правильный шестиугольник, так как угол вычисляется по формуле:
Легко догадаться, что шесть правильных треугольника тоже образуют вершину паркета, так как 6 ⋅ 60 ° = 360 ° . Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая), следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, не может превышать шести. Итак, в вершине пакета может быть три шестиугольника, или четыре квадрата, или шесть треугольников.
Выясним, а может быть пять многоугольников:
- 360 ° : 5 = 72 ° — один угол;
- , после преобразования, получается, что ,
- Вывод: пять многоугольников не может быть.
2.2. Паркеты из полуправильных многоугольников.
Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии, переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами (см. презентация – слайды…)
2.3. Пятиугольные паркеты.
Сложными являются паркеты, составленные из неправильных пятиугольников.
В 1975 году домохозяйка из города Сан-Диего, мать пятерых детей, не имеющая математического образования, украдкой читала ежемесячные издания ScientificAmerican, которые выписывал один из ее интересующихся наукой сыновей. Работая за кухонным столом, Райс открыла новый (первый был открыт в 1918г.) тип пятиугольных паркетов, о чем написала в журнал. С ней познакомилась математик Дорис Шаттшнайдер, при поддержке которой Райс открыла еще три ранее неизвестных вида пятиугольных паркетов. В 1985 году в издании MathematicsMagazineРольфШтайн из Дортмундского университета сообщил об обнаружении 14-го типа пятиугольных паркетов. Он же сообщил, что его открытие завершает перечисление всех типов пятиугольных паркетов и таким образом решает задачу классификации многоугольных паркетов. И только в 2015 году, спустя 30 лет, профессоры Кейси Манн и Дженнифер Маклауд, а также бакалавр Дэвид вон Дюрей из Вашингтонского университета в Ботелле открыли 15-й тип пятиугольного паркета
«Не математические паркеты»
Ма́уриц Корне́лис Э́шер — нидерландский художник-график. Из всех работ Эшера лучше всего известны его орнаменты (или мозаики), то есть периодическое заполнение плоскости одинаковыми фигурами без их пересечений и щелей между ними. Разбивая плоскость на хитроумные комбинации контуров птиц, рыб, пресмыкающихся, млекопитающих и человеческих фигур, Эшер умело включает свои орнаменты в необычайные, подчас озадачивающие неожиданными решениями композиции.
Паркеты Эшера, с причудливым переплетением фигур людей, животных или монстров — это не фантасмагория Сальвадора Дали или Рене Маргитта, а тонкие философские и математические наблюдения.
В заключение, мы хотим представить вашему вниманию паркеты, которые составили сами.
Источник: nsportal.ru
Правильные паркеты. Правильные паркеты. Проект подготовила учащаяся МОУ- СОШ 6 г. Маркса Жильникова Настя Жильникова Настя Руководитель: Мартышова Людмила. — презентация
Презентация на тему: » Правильные паркеты. Правильные паркеты. Проект подготовила учащаяся МОУ- СОШ 6 г. Маркса Жильникова Настя Жильникова Настя Руководитель: Мартышова Людмила.» — Транскрипт:
1 Правильные паркеты. Правильные паркеты. Проект подготовила учащаяся МОУ- СОШ 6 г. Маркса Жильникова Настя Жильникова Настя Руководитель: Мартышова Людмила Иосифовна
3 Цели и задачи Выяснить из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить правильный паркет. Выяснить из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить правильный паркет. Рассмотреть все виды правильных паркетов и ответить на вопрос об их количестве. Рассмотреть все виды правильных паркетов и ответить на вопрос об их количестве.
Рассмотреть примеры применения правильных многоугольников в природе. Рассмотреть примеры применения правильных многоугольников в природе.
4 . С паркетами мы часто встречаемся в повседневной жизни: ими застилают полы в домах, стены комнат покрывают различными плитками, часто здания украшают орнаментами. С паркетами мы часто встречаемся в повседневной жизни: ими застилают полы в домах, стены комнат покрывают различными плитками, часто здания украшают орнаментами.
11 Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет? Первый вопрос, который нас интересует и который легко решается, следующий: из каких правильных выпуклых многоугольников можно составить паркет?
12 Сумма углов многоугольника. Сумма углов многоугольника. Пусть плита паркета является правильным n- угольником. Сумма всех углов n-угольника равна 180(n-2), и, так как все углы равны между собой, то каждый из них равен Пусть плита паркета является правильным n- угольником. Сумма всех углов n-угольника равна 180(n-2), и, так как все углы равны между собой, то каждый из них равен 180(n-2)/n.
Поскольку в каждой вершине паркета сходится целое число углов, то число 360 должно быть целым кратным числа 180(n-2)/n. Преобразуя отношение этих чисел, получаем 180(n-2)/n. Поскольку в каждой вершине паркета сходится целое число углов, то число 360 должно быть целым кратным числа 180(n-2)/n. Преобразуя отношение этих чисел, получаем 360n/ 180(n-2)= 2n/ n n/ 180(n-2)= 2n/ n-2.
13 180(n-2), n- количество сторон многоугольника 180(n-2), n- количество сторон многоугольника Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто. И здесь нам понадобится формула суммы углов много- угольника. Если паркет составлен из Убедиться в том, что никакой другой правильный многоугольник паркета не образует, совсем просто.
И здесь нам понадобится формула суммы углов много- угольника. Если паркет составлен из n-угольников, то в каждой вершине паркета будет сходиться многоугольников, где — угол правильного n-угольника. Легко найти, что = 60°, = 90°, = 108°, n-угольников, то в каждой вершине паркета будет сходиться многоугольников, где — угол правильного n-угольника. Легко найти, что = 60°, = 90°, = 108°, =120°. =120°. 360° делится нацело на только при n = 3; 4; ° делится нацело на только при n = 3; 4; 6.
14 Отсюда ясно, что n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; стало быть, для n возможны лишь значения 3, 4, 6. Таким образом, получаются паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников. Другие паркеты из правильных многоугольников невозможны. Отсюда ясно, что n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; стало быть, для n возможны лишь значения 3, 4, 6. Таким образом, получаются паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников. Другие паркеты из правильных многоугольников невозможны.
15 ПАРКЕТЫ ЗАМОЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, треугольник, квадрат и шестиугольник. Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, треугольник, квадрат и шестиугольник.
16 ПАРКЕТЫ ЗАМОЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ ПАРКЕТЫ ЗАМОЩЕНИЯ ПЛОСКОСТИ МНОГОУГОЛЬНИКАМИ Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только «по вершинам», но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь. Можно потребовать, чтобы паркет был правильным только «по вершинам», но разрешить использовать разные виды правильных многоугольников. Тогда к трём исходным паркетам добавятся ещё восемь.
18 Паркеты из разных правильных многоугольников. Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°). Сначала выясним, какое количество различных правильных многоугольников (с одинаковыми длинами сторон) может находиться вокруг каждой точки. Величина угла правильного многоугольника должна находиться в интервале от 60° до 180° (не включая); следовательно, число многоугольников, находящихся в окрестности точки, должно быть больше 2 (360°/180°) и не может превышать 6 (360°/60°).
19 Паркеты из разных правильных многоугольников. Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) — два варианта паркета; (3,4,4,6) — четыре варианта; (3,3,3,4,4) — четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках — обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 — правильный треугольник, 4 — квадрат, 6 — правильный шестиугольник, 12 — правильный двенадцатиугольник). Можно показать, что существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) — два варианта паркета; (3,4,4,6) — четыре варианта; (3,3,3,4,4) — четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках — обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 — правильный треугольник, 4 — квадрат, 6 — правильный шестиугольник, 12 — правильный двенадцатиугольник).
20 Покрытия плоскости правильными многоугольниками отвечают следующим требованиям: 1 Плоскость покрыта правильными многоугольниками сплошь, без просветов и двойных покрытий, т.е. два многоугольника покрытия либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо совсем не имеют общих точек. Такое покрытие называется паркетом.
1 Плоскость покрыта правильными многоугольниками сплошь, без просветов и двойных покрытий, т.е. два многоугольника покрытия либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо совсем не имеют общих точек. Такое покрытие называется паркетом.
2 Вокруг всех вершин правильные многоугольники расположены одним и тем же способом, т.е. вокруг всех вершин в одном и том же порядке следуют многоугольники одних и тех же наименований. 2 Вокруг всех вершин правильные многоугольники расположены одним и тем же способом, т.е. вокруг всех вершин в одном и том же порядке следуют многоугольники одних и тех же наименований. Например, если вокруг одной вершины многоугольники расположены в последовательности: треугольник – квадрат – шестиугольник – квадрат, то и вокруг всякой другой вершины того же покрытия многоугольники расположены именно в этой же последовательности. Например, если вокруг одной вершины многоугольники расположены в последовательности: треугольник – квадрат – шестиугольник – квадрат, то и вокруг всякой другой вершины того же покрытия многоугольники расположены именно в этой же последовательности.
21 Правильный паркет Таким образом, паркет можно наложить на себя так, что любая заданная его вершина наложится на любую другую наперёд заданную вершину. Такой паркет называется правильным.
22 Сколько же существует правильных паркетов и как они устроены? Разобьем все правильные паркеты на группы по количеству различных правильных многоугольников, входящих в состав паркета Разобьем все правильные паркеты на группы по количеству различных правильных многоугольников, входящих в состав паркета 1.а). Шестиугольники 1.а). Шестиугольники б). Квадраты б). Квадраты в).
Треугольники в). Треугольники 2.а). Квадраты и треугольники 2.а). Квадраты и треугольники б). Квадраты и восьмиугольники б).
Квадраты и восьмиугольники в). Треугольники и шестиугольники в). Треугольники и шестиугольники г).Треугольники и двенадцатиугольники 3.а). Квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники г).Треугольники и двенадцатиугольники 3.а). Квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники б).
Квадраты, шестиугольники и треугольники б). Квадраты, шестиугольники и треугольники
23 Правильные паркеты, составленные из одного правильного многоугольника Группа1 Группа1 а). Шестиугольники а). Шестиугольники б). Квадраты б). Квадраты в).
Треугольники в). Треугольники
24 1а. Покрытие, состоящее из правильных шестиугольников. 1а. Покрытие, состоящее из правильных шестиугольников.
25 1б. Паркет, состоящий только из квадратов 1б. Паркет, состоящий только из квадратов.
26 1в. Паркет, состоящий из одних треугольников.
27 Правильные паркеты, составленные из двух правильных многоугольников Группа 2 Группа 2 а). Квадраты и треугольники б). Квадраты и восьмиугольники в). Треугольники и шестиугольники г).Треугольники и двенадцатиугольники
28 2а. Паркеты, состоящие из квадратов и треугольников. Вид I. Расположение многоугольников вокруг вершины: треугольник – треугольник — треугольник – квадрат – квадрат Расположение многоугольников вокруг вершины: треугольник – треугольник — треугольник – квадрат – квадрат
29 2а. Вид II. Паркеты, состоящие из квадратов и треугольников треугольник– треугольник – квадрат – треугольник — квадрат треугольник– треугольник – квадрат – треугольник — квадрат Расположение многоугольников вокруг вершины: Расположение многоугольников вокруг вершины:
30 2 б. Паркет, состоящий из квадратов и восьмиугольников 2 б. Паркет, состоящий из квадратов и восьмиугольников
31 2в. Паркет, состоящий из треугольников и шестиугольников. Вид I и вид II.
32 Правильные паркеты, составленные из трёх правильных многоугольников Группа3 Группа3 а). Квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники а). Квадраты, шестиугольники и двенадцатиугольники б). Квадраты, шестиугольники и треугольники б). Квадраты, шестиугольники и треугольники
33 2г. Паркет, состоящий из двенадцатиугольников и треугольников
34 3а.Паркет, состоящий из квадратов, шестиугольников и двенадцатиугольников.
35 3б. Паркет, состоящий из квадратов, шестиугольников и треугольников Покрытие в виде последовательности: Покрытие в виде последовательности: треугольник – квадрат – шестиугольник — квадрат треугольник – квадрат – шестиугольник — квадрат
36 Это невозможно : Паркета, состоящего из правильных пятиугольников не существует. Паркета, состоящего из правильных пятиугольников не существует. Не возможны покрытия в виде последовательности: Не возможны покрытия в виде последовательности: 1)треугольник – квадрат – шестиугольник – квадрат; 1)треугольник – квадрат – шестиугольник – квадрат; 2) треугольник – треугольник – квадрат – двенадцатиугольник; 2) треугольник – треугольник – квадрат – двенадцатиугольник; 3) треугольник – квадрат – треугольник – двенадцатиугольник. 3) треугольник – квадрат – треугольник – двенадцатиугольник.
37 Выводы Обратите внимание на паркеты, которые составлены только из одноимённых правильных многоугольников – равносторонних треугольников, квадратов и правильных шестиугольников. Обратите внимание на паркеты, которые составлены только из одноимённых правильных многоугольников – равносторонних треугольников, квадратов и правильных шестиугольников.
Среди этих фигур (если у них все стороны равны) правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь. Среди этих фигур (если у них все стороны равны) правильный шестиугольник покрывает наибольшую площадь. Поэтому если мы хотим, например, разбить бесконечное поле на участки размером в 1 га, чтобы на ограждения ушло как можно меньше материала, то участкам нужно придать форму правильных шестиугольников. Поэтому если мы хотим, например, разбить бесконечное поле на участки размером в 1 га, чтобы на ограждения ушло как можно меньше материала, то участкам нужно придать форму правильных шестиугольников.
38 . Еще один любопытный факт: оказывается, что разрез пчелиных сот тоже выглядит как плоскость, покрытая правильными шестиугольниками. Пчелы инстинктивно стремятся строить как можно более вместительные соты, чтобы запасти побольше меда. Еще один любопытный факт: оказывается, что разрез пчелиных сот тоже выглядит как плоскость, покрытая правильными шестиугольниками. Пчелы инстинктивно стремятся строить как можно более вместительные соты, чтобы запасти побольше меда.
40 Заключение Итак, рассмотрены все возможные комбинации. Вот такие получились 11 правильных паркетов. Они очень красивы, не правда ли? Какой паркет вам понравился больше всего? Итак, рассмотрены все возможные комбинации. Вот такие получились 11 правильных паркетов. Они очень красивы, не правда ли?
Какой паркет вам понравился больше всего?
42 ИсточникиИсточники А.Н. Колмогоров «Паркеты из правильных многоугольников». «Квант» А.Н. Колмогоров «Паркеты из правильных многоугольников». «Квант» Интернет-ресурсы: htt://www. arbuz. uz/v parket. html. Интернет-ресурсы: htt://www. arbuz. uz/v parket. html. virlib.eunnet.net/mif/text/n0399/1.html virlib.eunnet.net/mif/text/n0399/1.html nordww.narod.ru/…/laureat08/1549parket.htm ГК «Янтарная прядь – паркет».Каталог продукции.
Источник: www.myshared.ru