Из каких еще фигурок пентамино можно составить паркет

Из каких еще фигурок пентамино можно составить паркет

Игры — головоломки или геометрические конструкторы (мозаики) известны людям очень давно. Они интересны по содержанию, занимательны по форме, отличаются необычностью решения. Игры — головоломки вызывают у детей огромный интерес, удивление, эмоционально захватывают, способствуют развитию и становлению нравственно-волевых качеств личности школьника.

В стремлении ребёнка «победить» в нелёгкой борьбе с «хитрой» задачей проявляется его упорство, настойчивость, целеустремлённость. Кроме того, игры-головоломки помогают формировать такие жизненно важные качества как находчивость, быстроту, ловкость, самостоятельность, привычку к трудовому усилию, активную позицию. В играх-головоломках развивается умение сосредоточенно думать, способность к длительному умственному напряжению, интерес к интеллектуальной деятельности, познавательный интерес, умение общаться, сотрудничать и взаимодействовать. Все эти качества необходимы для успешного овладения учебными дисциплинами в школе.

ПАРКЕТЫ из фигур пентамино ➄

Актуальность: данная тема представляет особую актуальность, она показалась мне очень интересной, так как логическая головоломка «Пентамино» – позволяет не только творчески провести время, но и развивает воображение, память, внимательность. В наше время трудно найти ребенка, который не интересовался бы компьютерными играми, поэтому игра-головоломка «Пентамино» не известна большинству школьников.

Если доказать, что решение головоломки «Пентамино» ускоряет развитие пространственного мышления, мелкой моторики, усидчивости, памяти, внимательности, развивает умение общаться, сотрудничать и взаимодействовать с людьми в разнообразных жизненных ситуациях, то в будущем можно изучить различные виды логических игр — головоломок для разностороннего развития школьника.

Гипотеза: игра — головоломка «Пентамино» развивает круг интересов: умение общаться, строить отношения и взаимодействовать с окружающими.

На сегодняшний день существуют работы, посвященные играм-головоломкам. Однако мы решили, изучить эту тему на примере своего класса и в этом заключается новизна нашего исследования.

Цель исследования: изучить возможности игры — головоломки «Пентамино»

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

  • Познакомиться с историей создания игры «Пентамино»;
  • Выяснить значение игры «Пентамино» в жизни школьника;
  • Изучить правила игры «Пентамино»;
  • Решить задачи, предложенные любителями игры «Пентамино»;
  • Проанализировать результаты учащихся 3Б класса;
  • Сделать выводы на основе анкетирования.
  • Заинтересовать одноклассников логическими настольными играми.

Поставленные нами цель и задачи исследования определили следующую проблему:

  • Каким образом игра-головоломка влияет на развитие математических способностей и помогает в общении между детьми младшего школьного возраста?

Для исследования возможностей игры «Пентамино», мы выбрали следующие методы:

Создание графической модели «паркет»

  • анализ литературы по данному вопросу;
  • исследование логической игры «Пентамино;
  • наблюдение за успехами в игре учащихся нашего класса;
  • анкетирование учащихся.

Объект исследования: игра — головоломка «Пентамино»

Предмет исследования: влияние игры — головоломки на развитие коммуникативных навыков.

Практическая значимость: результаты исследования помогут понять, как игра- головоломка «Пентамино» влияет на современного школьника.

ГЛАВА I. ЗАГАДОЧНЫЙ МИР ПЕНТАМИНО

1.1. История создания логической игры «Пентамино»

Популярная игра «Пентамино» представляет целую группу головоломок с общим названием «Полимино» (образовано от домино). Это название в 1953 году придумал американский математик Соломон Голомб — создатель многочисленных геометрических головоломок с фигурками тримино, тетрамино и пентамино (от греческого trias, tetra, pente — три, четыре, пять). Его книга с описанием многочисленных головоломок приобрела мировой успех, была переведена на множество языков, в том числе и русский.

В 70-е годы в нашей стране игра — головоломка стала очень популярной. Тогда же выяснили, что впервые вариант этой игры под названием «12 по 5» придумал Н.Д. Сергиевский еще в 1935 году, а в 1951 игра «Пентамино» участвовала во Всесоюзном конкурсе детской игрушки. «Пентамино» — знаменитая головоломка второй половины прошлого века, которая пользуется заслуженным успехом среди любителей занимательной математики во всем мире.

1.2.Виды и количество фигур Пентамино

Игровой набор «Пентамино» состоит из 12 фигурок. Каждая в свою очередь состоит из 5 — клеточек квадратов, сложенных различным образом. Отсюда и название: «Пентамино», то есть «Пять» и «Домино».

В процессе игры фигуры разрешается укладывать как одной, так и другой стороной. Шесть фигур при переворачивании не меняют своей конфигурации – они симметричны. Остальные асимметричны и при переворачивании становятся «зеркальными». Считается, что зеркальная симметрия и вращательная симметрия не создают новых фигур.

Но если считать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18. (Приложение1) Такое различие имеет значение, например, в компьютерной игре, вариации «Тетриса» — «Пентиксе». Все 12 видов пентамино можно обозначить прописными латинскими буквами, форму которых они напоминают. Запомнить эти обозначения удобнее всего так: первые пять букв входят в имя FILIPINo, а остальные семь составляют конец латинского алфавита(TUVWXYZ).

Например, вот восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, N и Y. (Приложение1)

Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:

· L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.

· Z может быть ориентирована 4 способами: 2 — поворотами, 2 — зеркальными отображениями.

· T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.

· I может быть ориентирована поворотами 2 способами.

· X может быть ориентирована единственным способом.

Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63.

1.3. Правила игры «Пентамино»

Задача игрока расположить все фигурки на поле, оставив четыре пустые клетки. В простом случае фигурки можно переворачивать (отражать зеркально), а пустые клетки оставлять где угодно. В усложноенном варианте запрещается зеркальные перевороты фигур, а пустые клетки должны быть на конкретных местах (например, по углам). Если сделать несколько комплектов, то можно собирать на время.

Правила игры состоят в том, что каждый игрок, должен из предложенных игрой геометрических фигурок составить зашифрованный рисунок. (Приложение 2)

Игра Пентамино, как и все логические игры имеют несколько уровней. После того как первой и обычно самый простой уровень игроком пройден и ему удалось справиться с задачей и составить определенную фигуру игры Пентамино, игроки могут перейти на следующий уровень, который будет куда сложнее, чем предыдущий. Чтобы игрокам игры Пентамино было интересно преодолевать все трудности и переходить от одного уровня к другому, любители этой увлекательной головоломки предлагают составлять не только всем привычные геометрические фигурки, но и попробовать свои силы, собирая, к примеру, изображение животного, автомобиля, шахматных фигур или любого узора. Игра — головоломка Пентамино, обладает огромным количеством различных вариантов изображений. Выбрав категорию «животные» и собрав все предложенные в ней фигурки, начиная от песика, и заканчивая огромным слоном, обязательно возникнет желание попробовать свои силы, собирая более сложны рисунки из категории «узоры».

ГЛАВА II. ПОПУЛЯРНЫЕ ГОЛОВОЛОМКИ «ПЕНТАМИНО»

2.1. Пентамино на шахматной доске

Пентамино может быть не только головоломкой, но и настольной игрой. Вот как описывает подобную игру Соломон Голомб в своей книге «Полимино»:
«Пентамино – это не только задачи. Их размещения на шахматной доске размером 8х8 можно рассматривать и как увлекательную игру. Несколько (двое или больше) игроков поочередно выбирают любое из 12 пентамино и располагают его на свободных клетках шахматной доски. Проигрывает тот, кто первым не сможет разместить на доске ни одного из оставшихся пентамино.

Если же все 12 пентамино удалось разместить на доске, то выигрывает ходивший последним. Эта игра наверняка будет продолжаться не менее 5 и не более 12 ходов и заведомо не может кончиться вничью; в начале партии имеется даже больше разнообразных «ходов», чем у шахмат. Игра, бесспорно, заинтересует игроков самого разного возраста.
Главное: старайтесь играть так, чтобы на шахматной доске всегда оставалось место для четного числа пентамино (разумеется, если вы играете вдвоем).
Если вам не удается проанализировать создавшуюся позицию, постарайтесь по возможности усложнить ее так, чтобы противник оказался в еще более затруднительном положении, чем вы.» (Приложение 1)

2.2. Решение головоломок «Пентамино» (игры и задачи с Пентамино)

Самая распространённая задача в Пентамино — сложить из всех элементов прямоугольник. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер. Существует ровно 2339 различных укладок Пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника. Один из вариантов:

Пентамино - Прямоугольник 6x10

Пентамино — прямоугольник 6×10

Пентамино - Прямоугольник 5x12

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений.

Пентамино — Прямоугольник 5×12

Для прямоугольника 4×15 — 368 решений.

Пентамино - Прямоугольник 4x15

Пентамино — Прямоугольник 4×15

Для прямоугольника 3×20 — всего 2 решения, вот они:

Источник: science-start.ru

Пентамино

Пентамино́ (от др.-греч. πέντα пять, и домино) — полимино из пяти одинаковых квадратов, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами («ходом ладьи»). Этим же словом иногда называют головоломку, в которой такие фигуры требуется укладывать в прямоугольник или другие формы.

Виды и количество фигур

Всего существуют 12 различных фигур (элементов) пентамино, обозначаемых латинскими буквами, форму которых они напоминают (см. рисунок). Считается, что зеркальная симметрия и вращательная симметрия не создают новых фигур. Но если считать и зеркально отражённые фигуры, то их число увеличится до 18. Такое различие имеет значение, например, в компьютерной игре, вариации «Тетриса» — «Пентиксе».

Если рассматривать вращения фигур на 90°, то существуют следующие категории симметрии:

  • L, N, P, F и Y могут быть ориентированы 8 способами каждая: 4 поворотами и ещё 4 зеркальными отображениями.
  • Z может быть ориентирована 4 способами: 2 — поворотами, 2 — зеркальными отображениями.
  • T, V, U и W могут быть ориентированы поворотами 4 способами каждая.
  • I может быть ориентирована поворотами 2 способами.
  • X может быть ориентирована единственным способом.

Отсюда число фиксированных пентамино равно 5 × 8 + (1 + 4) × 4 + 2 + 1 = 63.

Например, вот восемь возможных способов ориентации пентамино L, F, P, N и Y:

Составление фигур из пентамино

Укладка прямоугольников

Прямоугольники, составленные из пентамино

Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Каждую из этих головоломок можно решить вручную, но более сложной задачей является подсчёт общего числа возможных решений в каждом случае. (Очевидно, прямоугольники 2×30 и 1×60 составить из пентамино невозможно, поскольку многие фигуры в них просто не помещаются по ширине.)

Для случая 6×10 эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер [1] . Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, не считая поворотов и отражений целого прямоугольника, но считая повороты и отражения его частей (иногда внутри прямоугольника образуется симметричная комбинация фигур, поворачивая которую можно получить дополнительные решения; для прямоугольника 3×20, приведённого на рисунке, второе решение можно получить поворотом блока из 7 фигур, или, иначе говоря, если поменять местами четыре фигуры, крайние слева, и одну крайнюю справа).

Для прямоугольника 5×12 существует 1010 решений, 4×15 — 368 решений, 3×20 — всего 2 решения (отличающихся вышеописанным поворотом). В частности, существует 16 способов сложить два прямоугольника 5×6, из которых можно составить как прямоугольник 6×10, так и 5×12.

Укладка прямоугольников из односторонних пентамино

Если дополнить набор пентамино зеркальными копиями фигур, не совпадающих со своими отражениями (F, L, P, N, Y и Z), то из полного набора в 18 односторонних пентамино можно сложить прямоугольники площадью 90 единичных квадратов (при этом фигуры не разрешается переворачивать). Задача о составлении прямоугольника 3×30 имеет 46 решений, 5×18 — более 600 тыс. решений, 6×15 — более 2 млн. решений и 9×10 — более 10 млн. решений [2]

Укладка фигур с отверстиями

В какой-то степени более простую (более симметричную) задачу, для квадрата 8×8 с отверстием в центре 2×2, решил еще в 1958 году Дана Скотт [3] (аспирант-математик Принстона). Для этого случая существует 65 решений. Алгоритм Скотта был одним из первых применений компьютерной программы поиска с возвратом.

Квадраты с отверстиями, составленные из пентамино

Квадраты с отверстиями, которые нельзя составить из пентамино

Другой вариант этой головоломки — выкладывание квадрата 8×8 с 4 отверстиями в произвольно заданных местах. Большинство таких задач имеют решение. Исключением являются случаи с размещением двух пар отверстий вблизи двух углов доски так, чтобы в каждый угол можно было поместить только P-пентамино, или всех четырёх отверстий вблизи одного угла так, что при любом возможном заполнении угловой клетки (с помощью U- или T-пентамино) от доски отсекается ещё одна клетка (см. рисунок).

Для решения этих задач эффективные алгоритмы описал, например, Дональд Кнут [4] . На современном компьютере подобные головоломки решаются за считанные секунды.

Задача об утроении фигур пентамино

Triplication of pentaminoes.png

Эта задача была предложена профессором Калифорнийского университета Р.М.Робинсоном. Выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 из 11 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза бо́льшей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причём не единственное (от 15 решений для Х до 497 для Р). [2] Существует вариант этой задачи, в котором для построения утроенной фигуры разрешается использовать также и саму исходную фигуру. В этом случае число решений от 20 для Х до 9144 для Р-пентамино. [5]

Представленное на рисунке решение [6] , найденное А.ван де Ветерингом, обладает интересным свойством: каждое пентамино используется для утроения девяти из остальных, по одному разу в каждой. Таким образом, из 9 комплектов исходных фигур пентамино можно одновременно сложить все 12 утроенных пентамино.

Настольная игра

Пентамино может использоваться также как настольная игра для двух игроков. [7] Для игры необходима шахматная доска 8×8 и набор фигур пентамино, клетки которых имеют одинаковый размер с клетками доски. В начале игры доска пуста. Игроки поочерёдно выставляют на доску по одной фигуре, закрывая 5 свободных клеток доски. Все выставленные фигуры остаются на месте до конца партии (не снимаются с доски и не передвигаются). Проигравшим считается игрок, который первым не сможет сделать хода (либо из-за того, что ни одна из оставшихся фигур не умещается на свободных участках доски, либо потому, что все 12 фигур уже выставлены на доску).

Анализ игры достаточно сложен (так, в начале имеется даже больше возможных первых ходов, чем в шахматах). Голомб предложил следующую стратегию: стремиться разбить свободное место на доске на два равновеликих участка (и помешать сопернику сделать это). После этого на каждый ход соперника на одном из участков следует отвечать ходом на другом.

Пример партии в пентамино показан на рисунке. Нумерация ходов сквозная (нечётные номера ходов принадлежат первому игроку, чётные — второму). Первоначально игроки делают ходы в центре доски (ходы 1–3), не позволяя друг другу разбить доску на равновеликие участки. Но затем второй игрок делает неудачный ход (4), позволяющий сопернику разбить свободное место на два участка по 16 клеток (ход 5). (В этом примере свободные участки не только равны по площади, но и совпадают по форме — симметричны относительно диагонали доски, но для стратегии это, разумеется, не обязательно.) Далее на ход второго игрока (6) на одном из этих участков первый игрок отвечает ходом на другом (7) и выигрывает. Хотя на доске ещё есть три свободных участка в пять и более клеток, но все подходящие фигуры (I, P, U) уже использованы.

Варианты настольной игры

Пентамино с заранее выбранными фигурами

В этом варианте игры игроки сначала по очереди выбирают по одной фигуре, пока все фигуры не будут распределены между ними. Далее игра проходит по правилам обычного пентамино, с той разницей, что каждому из игроков разрешается ходить только теми фигурами, которые он выбрал. Взявший последнюю фигуру делает первый ход.

Стратегия этого варианта игры, предложенная Голомбом, существенно отличается от стратегии обычного пентамино. Вместо того, чтобы разбить доску на равновеликие участки, игрок стремится создать на доске участки, которые можно заполнить лишь его фигурами, но не фигурами соперника. (Голомб называет такие участки «убежищами».)

Пример партии в пентамино с заранее выбранными фигурами показан на рисунке. Фигуры, выбранные первым и вторым игроками, перечислены слева и справа от доски соответственно. Зачёркнутая буква обозначает, что фигура использована для хода. Сначала игроки избавляются от самых «неудобных» фигур X и W (ходы 1 и 2).

Затем первый игрок создаёт «убежище» для фигуры Y (ход 3), второй — для фигур U и P (ходы 4 и 6). В конце партии (ходы 8—10) происходит заполнение этих «убежищ» и партия заканчивается победой второго игрока — у первого остаётся Т-образное пентамино, для которого на оставшейся части доски нет подходящего места.

Другие варианты

  • «Карточное пентамино» — вариант игры с привнесением случайных событий. Фигуры пентамино (или их буквенные обозначения) рисуют на карточках, которые тасуют и раздают игрокам. Игроки выбирают фигуры в соответствии с розданными им карточками. Далее игра идёт по правилам пентамино с заранее выбранными фигурами.
  • Пентамино для четырёх игроков. Четыре игрока, сидящие по четырём сторонам доски, играют двое на двое (игроки, сидящие друг напротив друга, образуют команду). Проигравшей считается команда, игрок которой первым не сможет сделать хода. В эту игру можно играть по любому из трёх вышеописанных вариантов — обычному, с заранее выбранными фигурами или «карточному».
  • «Кто-кого?» В игре участвует от двух до четырёх игроков, но каждый из них играет только за себя. Победителем считается сделавший последний ход, ему засчитывается 10 очков. Игрок, который должен ходить после победителя (т.е. первым не сможет сделать хода) получает 0 очков, а все остальные игроки — по 5 очков. Может быть сыграно несколько партий, набранные в них очки суммируются. Игра также может проводиться по любому из трёх вышеописанных вариантов правил.

Компьютерные игры

С конца 1980-х годов неоднократно выходили различные компьютерные игры, основанные на пентамино. Наиболее известная — основанная на идее тетриса игра пентикс (Pentix). Один из новейших примеров — игра Dwice, которую разработал в 2006 году изобретатель Тетриса Алексей Пажитнов.

Примечания

См. также

Ссылки

  • Клуб любителей пентамино — можно прочесть правила, скачать компьютерную версию игры
  • BANJEN Pentamino — реализация игры
ПолиформыПолимино Другие
Домино · Тримино · Тетрамино · Пентамино · Гексамино · Гептамино · Октамино · Нонамино
Connect (игра) · Полиаболо · Поликуб · Полидрафтер · Полигекс · Полиамонд · Полиоминоид · Полистик
ТетрисОсновное

Алексей Пажитнов • Tetris effect • Тетрамино • The Tetris Company

Tetris: The Soviet Mind Game • Tetris Plus • Tetris Plus 2 • Tetris: The Grand Master • Magical Tetris Challenge • Tetris 64 • The New Tetris • Tetris Worlds • Tetris Splash • Tetris Party

Tetris (Game Boy) • Tetris (iOS) • V-Tetris • 3D Tetris • Tetris DS • Tetris 3DS

Blockout • Welltris • Hatris • Wordtris • Tetris Attack • TetriNET • Tetrisphere • KDE Games KBlocks/KSirtet • Quadrapassel

  • Головоломки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы:

  • Сиверс, Яков Ефимович
  • Дни памяти по мученикам

Полезное

Смотреть что такое «Пентамино» в других словарях:

  • пентамино — сущ., кол во синонимов: 1 • игра (318) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов
  • Пентамино (игра) — Пентамино (от др. греч. πέντα пять, и домино) полимино из пяти одинаковых квадратов, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами («ходом ладьи»). Этим же словом иногда называют … Википедия
  • Тетрис — Эта статья об игре; о портативных устройствах, содержащих эту игру см.: Brick Game. Тетрис … Википедия
  • Tetris — Эта статья об игре, о портативных устройствах см.: Тетрис (устройство). Тетрис Разработчик Алексей Пажитнов (алгоритм), Вадим Герасимов (код) Издатель Разные Дизайнер Алексей Пажитно … Википедия
  • Полимино — Полимино, или полиомино (англ. polyomino) плоские геометрические фигуры, образованные путём соединения нескольких равных квадратов по их сторонам. Это полиформы, сегменты которых являются квадратами. Их можно рассматривать как конечные … Википедия
  • Кубики сома — 7 составных частей куба Сома … Википедия
  • Гексамино — Гексамино полимино 6 го порядка, то есть плоская фигура, состоящая из шести равных квадратов, соединённых сторонами. С фигурами гексамино, как со всеми полимино, связано много задач занимательной математики … Википедия
  • Блокус — Блокус абстрактная стратегическая настольная игра для двух, трех или четырех человек, изобретенная французским математиком Бернардом Тавитианом, впервые изданная во Франции в 2000 г. Существуют четыре вида блокуса: классический (blokus … Википедия
  • Жизнь (игра) — У этого термина существуют и другие значения, см. Жизнь (значения). Игра «Жизнь» (англ. Conway s Game of Life) клеточный автомат, придуманный английским математиком Джоном Конвеем в 1970 году. Содержание 1 Правила … Википедия
  • Тетрамино — Односторонние фигуры тетрамино: I, J, L, O, S, T, Z Тетрамино геометрические фигуры, состоящие из четырёх квадратов, соед … Википедия
  • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
  • Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

  • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
  • Искать во всех словарях
  • Искать в переводах
  • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Источник: dic.academic.ru

Конструирование из Т

В этом видеоуроке мы отвлечёмся от измерений и построений и немножко поиграем. Скажем, что называют паркетом. Познакомимся с известной логической игрой и головоломкой – «пентамино».

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет.

Получите невероятные возможности

1. Откройте доступ ко всем видеоурокам комплекта.

2. Раздавайте видеоуроки в личные кабинеты ученикам.

3. Смотрите статистику просмотра видеоуроков учениками.
Получить доступ

Конспект урока «Конструирование из Т»

Посмотрите на фигуры, которые изображены на рисунке.

Это не квадраты, не прямоугольники… Как можно описать эти фигуры человеку, который их не видит?

Первая фигура похожа на букву Н. Можно сказать, что это буква Н с двумя перекладинами.

А что можно сказать про вторую фигуру?

Вторая фигура похожа на букву Г. Точнее, это буква Г, лежащая на боку.

А теперь опишите фигуру, изображённую на следующем рисунке. Это буква ТЭ.

Сейчас мы с вами приступим к выполнению заданий и будем называть эту фигуру буквой Т.

Задание первое. Раскрасьте фигуру, изображённую на рисунке а, буквами Т такой формы, как на рисунке б.

Отметим, что при выполнении этого задания букву Т можно поворачивать как угодно.

Решение. Буква Т состоит из 5 клеток.

Задание второе. Имеется лист клетчатой бумаги размером клеток. Вырежьте из него как можно больше букв Т такой формы, как показано на рисунке.

Решение. Начнём вырезать фигуры в виде буквы Т из верхнего левого угла листа бумаги.

Так, из листа бумаги мы смогли вырезать 16 фигур в форме буквы Т.

Задание третье. Можно ли завернуть куб в букву Т в один слой? Если можно, то изобразите эту букву. Укажите её размеры, если ребро куба равно 1у см.

Решение. В «букву Т» получится в один слой завернуть куб с длиной ребра, равной см.

Теперь вы можете выполнить вот такое задание. Составьте конструкцию из трёх-четырёх букв Т и, не показывая её соседу по парте, словесно опишите её. Вам нужно описать фигуру так, чтобы ваш приятель смог её нарисовать. Если получилось, поменяйтесь ролями: теперь он объясняет, а вы рисуете.

А сейчас посмотрите на лебедей, которых изобразил голландский художник Мауриц Эшер.

Они образуют, как говорят математики, «паркет». Здесь каждая птица плотно прилегает к своим соседям без малейших зазоров, совсем как плашки паркетного пола. Правильным называется такой паркет, который составлен повторением одной и той же фигуры. Например, на следующем рисунке круги не образуют паркета, а зелёные и красные фигуры образуют.

Паркеты могут получаться и при соединении различных фигур. На данном рисунке – два квадрата разных размеров.

А вот если не обращать внимание на окраску, то можно заметить, что на самом деле этот паркет составлен вот из таких фигур…

Из фигур в форме буквы Т тоже можно составить паркет. Посмотрите, здесь каждая фигура плотно прилегает к соседним. Причём этот паркет является правильным, так как он представляет собой повторение одной и той же фигуры. При этом обратите внимание, что буква Т состоит из 5 равных квадратов. Такую фигуру называют пентамино.

Пентамино – пятиклеточные полимино, то есть плоские фигуры, каждая из которых состоит из 5 одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами.

Также этим словом называют очень известную логическую игру и головоломку одновременно. Она прекрасно тренирует геометрическое воображение у детей и взрослых. Элементами в этой игре являются плоские фигуры, каждая из которых состоит их 5 одинаковых квадратов. Всего существует 12 элементов пентамино. Все элементы обозначаются латинскими буквами, форму которых они напоминают.

Видим, что фигура в форме буквы Т, состоящая из 5 одинаковых квадратов, является элементом этой игры.

При решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать, поэтому при изготовлении игры своими руками элементы надо делать двухсторонними (то есть закрашивать с двух сторон).

Посмотрите, следующие фигуры сложены из элементов пентамино.

Давайте рассмотрим решение самой распространённой задачи. Необходимо сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Так как каждая фигура состоит из 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 12 умножить на 5, то есть 60 единичных квадратов.

В таком случае возможны прямоугольники размером , , и .

Важно отметить, что прямоугольники размером и составить из пентамино не получится, так как многие фигуры просто не поместятся по ширине.

В прямоугольник размером мы можем уложить пентамино вот таким образом.

Существует ещё 1 способ укладки прямоугольника такого размера.

А вот для прямоугольника размером существует 2339различных способов. Посмотрите на один из них.

Для прямоугольника размером существует 1010 решений. Вот одно из них.

Для прямоугольника размером – 368 решений. Вы видите одно из них.

Источник: videouroki.net

Паркеты из полимино

Полимино (n-мино) — это плоские геометрические фигуры, образованные путем соединения нескольких одноклеточных квадратов по их сторонам. В зависимости от того, из какого количества квадратов полимино состоит, оно может называться по-разному: мономино (n = 1), домино (n = 2), тримино (n = 3), тетрамино (n = 4) и так далее (рис. 1).

Рис. 1. Все возможные полимино, состоящие не больше чем из четырех квадратов

Рис. 1. Все возможные (с точностью до вращения и переворачивания) полимино, состоящие не больше чем из четырех квадратов

а) Придумайте три различных замощения плоскости фигурками пентамино, изображёнными слева на рис. 2.

б) Докажите, что существует бесконечно много различных замощений плоскости фигурками нонамино (9-мино), изображенными в центре на рис. 2.

в) Приведите пример фигурки гептамино (7-мино), отличающейся от изображенной справа на рис. 2, копиями которой нельзя замостить плоскость без пробелов и наложений (считаем, что фигурки можно вращать и переворачивать).

Рис. 2. Пентамино, нонамино и гептамино

Рис. 2. Слева — пентамино, в центре — нонамино, справа — гептамино

Подсказка 1

В пункте а) попробуйте сложить из фигурок пентамино полосу, бесконечную в обе стороны, копиями которой потом можно было бы покрыть плоскость. То же относится к фигуркам нонамино в пункте б).

В пункте в) придумайте такие гептамино, из которых сложить подобную полосу не получится.

Подсказка 2

Чтобы получить много разных замощений, в частности, бесконечно много — как требуется в пункте б), достаточно сконструировать две различные полосы, которые потом можно комбинировать между собой. Три замощения в пункте а) можно получить таким же образом.

А фигура, копиями которой нельзя замостить плоскость, по всей видимости, должна обладать либо выемками, которые нельзя покрыть, либо, наоборот, выступающими частями, которые накладываются друг на друга, как ни крути.

Решение

а) Для начала сложим вместе два наших пентамино — получится восьмиугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 3).

Рис. 3

Такими восьмиугольниками оказывается удобно мостить плоскость. Для этого будем прикладывать их параллельными сторонами друг к другу, образовывая бесконечно длинные полосы. Наиболее естественно это делать одним из двух способов, изображенных на рис. 4.

Рис. 4

Полученными полосами покрыть плоскость совсем легко — так у нас получаются два различных замощения данными пентамино, показанные на рис. 5.

Рис. 5

Чтобы получить еще одно замощение, посмотрим, как устроены уже построенные нами полосы. Каждая из них представляет собой что-то вроде «лесенки». Считая длину стороны квадрата, из пяти копий которого составлено пентамино, равной единице, мы можем сказать, что у первой «лесенки» длина «ступеньки» равна 3, а высота — 1. Что касается второй «лесенки», то у нее длина и ширина «ступенек» совпадают и равны 2.

Понятно, что если нам удастся сконструировать еще одну полосу-«лесенку», у которой длина и ширина «ступенек» совпадают с одним из уже указанных вариантов, то потом мы сможем скомбинировать между собой эти полосы и получить новое замощение. Удивительным образом эта полоса обнаруживается в одном из двух уже построенных замощений, хотя сама полоса отличается от двух уже известных нам «лесенок» (рис. 6).

Рис. 6

Поэтому третье из искомых замощений получается таким, как на рис. 7.

Рис. 7

Существуют и более хитрые полосы, которые приводят к замощениям. Один из примеров такого замощения приведен на рис. 8.

Рис. 8

б) Самый естественный способ замостить плоскость данными фигурками нонамино заключается в том, чтобы, как и в пункте а), сначала составить из них полоску, а потом уже покрыть все такими полосками (рис. 9, слева).

Рис. 9.

Другой вариант замощения получается, если мы будем чередовать положения наших фигурок: стандартное, повернутое, стандартное, повернутое и так далее — получается рисунок, похожий на мозаику паззлов (рис. 9, справа).

С первого взгляда кажется совершенно непонятным, что общего между этими двумя замощениями (если не считать форму плитки, которая лежит в их основе, конечно). Дело оказывается в том, что полосы в каждом замощении можно выделять разными способами. В частности, в первом из указанных замощений можно найти полосу, которая имеется и во втором замощении (рис. 10).

Рис. 10.

Теперь мы можем, чередуя такие полосы с полосами фигурок нонамино, повернутых на 90°, получить бесконечно много разных вариантов замощения плоскости. Например, такой, который изображен на рис. 11.

Рис. 11.

Проводя аналогию с пунктом а), отметим, что и там мы можем комбинировать две стандартные полосы различными способами, а значит, вариантов замощения плоскости данным пентамино также бесконечно много. А для знакомых с теорией множеств обратим внимание на тот факт, что подобные множества различных замощений даже не являются счетными, поскольку каждому замощению соответствует бесконечная в обе стороны последовательность из нулей и единиц.

в) Среди всех 108 возможных фигурок гептамино только четыре обладают тем свойством, что их копиями нельзя замостить плоскость без пробелов и наложений: одна из них изображена справа на рис. 2, а остальные три — на рис. 12. Мы приведём доказательство этого факта только для левой из этих трех фигурок. Для двух других объяснение использует ту же самую идею, хотя и является более громоздким из-за необходимости рассмотрения большего числа случаев.

Рис. 12

Рассмотрим данную фигурку гептамино и одну из клеток, которая к ней примыкает по двум сторонам (зелёная клетка на рис. 13). Эта клетка должна быть покрыта какой-либо копией фигурки гептамино — с точностью до симметрии имеется всего два варианта такого покрытия.

Для каждого из этих вариантов рассмотрим одну из клеток, которая примыкает по двум сторонам ко второй фигурке (жёлтые клетки на рис. 13). Она тоже должна быть покрыта некоторой копией данной фигурки гептамино. Однако как бы мы ни располагали третью фигурку, а впоследствии и остальные фигурки, соседняя клетка (красные клетки на рис. 13) окажется не покрыта ничем.

Следовательно, данная фигурка гептамино не допускает замощения плоскости без пробелов и наложений.

Рис. 13.

Послесловие

Термин полимино (англ.: polyomino) был введен в широкое обращение американским математиком Соломоном Голомбом в 1953 году, а затем популяризирован Мартином Гарднером. Однако это вовсе не означает, что до середины XX века человечество было совершенно незнакомо с этим понятием. Как справедливо отмечал сам Голомб, задачи о пентамино упоминаются еще в книге «Кентерберийские головоломки» английского изобретателя головоломок и развлечений Генри Дьюдени (Henry Dudeney), изданной в 1907 году, и есть основания полагать, что Дьюдени был не первым человеком, заинтересовавшимся этой темой. Кроме того, в период с 1937-го по 1957 годы в английском журнале Fairy Chess Review появился ряд статей, в которых рассматривались задачи разбиения различных фигур на части, имеющие форму n-мино для n = 1, . 6.

Различают три вида полимино в зависимости от того, разрешается ли переворачивать и вращать фигурки. Двусторонние полимино (англ.: free polyominoes) можно как переворачивать, так и поворачивать, односторонние полимино (англ.: one-sided polyominoes) можно только поворачивать в плоскости, а фиксированные полимино (англ.: fixed polyominoes) нельзя ни поворачивать, ни переворачивать.

Существует ровно по одному типу двусторонних мономино и домино, два типа тримино и пять типов тетрамино (рис. 1). Количество различных фигурок двустороннего пентамино равно уже двенадцати (рис. 14). Чтобы запомнить их все, Голомб предложил использовать следующее мнемонеческое правило: каждой фигурке пентамино сопоставим букву латинского алфавита; семь из этих букв (TUVWXYZ) составляют конец латинского алфавита, а еще пять (FILPN) входят в имя Filipino (в оригинале книги Голомба слово «Filipino» означает «филиппинец»). К слову, тетрамино тоже иногда обозначают латинскими буквами: I, O, T, L и Z.

Рис. 14

Чем больше число n, тем большее количество различных n-мино можно составить из n единичных квадратиков, причем зависимость является экспоненциальной. Так, существует 35 различных разновидностей двустороннего гексамино, 108 разновидностей двустороннего гептамино, 369 разновидностей двустороннего октамино и более тысячи видов фигурок двустороннего нонамино. Точную формулу, которая бы отражала зависимость количества различных фигурок n-мино от числа n, пока еще никому не удалось найти, а потому в каждом конкретном случае приходится пускаться в утомительные вычисления, отнимающие уйму времени. На сегодняшний день с использованием суперкомпьютеров удалось перечислить всевозможные двусторонние полимино для всех n ≤ 28, а также всевозможные фиксированные полимино для всех n ≤ 56 — количество разновидностей последних составляет приблизительно 7·10 31 штук.

Рис. 15

Рис. 15. Шахматная раскраска доски без двух углов

Большая часть популярных задач и головоломок, использующих фигурки полимино, связана с замощениями плоскости или различных других объектов — квадратов, прямоугольников и фигур более хитрой формы. Не претендуя на то, чтобы охватить все, что познало человечество за последние пятьдесят с лишним лет, перечислим наиболее заметные и любопытные идеи и факты.

1. Задача, уже ставшая классической: можно ли покрыть фигурками домино 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток? Ответ на поставленный вопрос отрицательный: раскрасив доску так, как это показано на рис. 15, легко убедиться, что эта доска содержит 32 черные и 30 белых клеток, в то время как каждая фигура домино занимает по одной клетке каждого цвета, как бы мы ее ни располагали.

2. Другая задача, похожая на первую: какую клетку из шахматной доски 8×8 нужно вырезать, чтобы ее можно было покрыть фигурками тримино 1×3? Чтобы решить ее, оказывается полезным раскрасить доску в три цвета так, как изображено слева на рис. 16. При такой раскраске черных и белых клеток поровну — по 21 штуке, а серых клеток больше — их 22.

Поскольку каждая фигурка тримино занимает по одной клеточке каждого цвета, мы должны вырезать серую клетку. Однако подойдет не любая серая клетка, а лишь такие, которые при повороте доски перейдут в серые клетки — таких всего четыре (рис. 16, в середине). Одно из возможных покрытий показано справа на рис. 16.

Рис. 16

3. Шахматную доску можно покрыть копиями каждого вида тетрамино, кроме Z-тетрамино. При этом нельзя покрыть ее одним квадратом и 15-ю T-тетрамино, одним квадратом и 15-ю L-тетрамино, а также одним квадратом и 15-ю I-тетрамино (для доказательства этих фактов также используются различные раскраски доски 8×8).

4. Шахматную доску можно покрыть полным набором двусторонних пентамино и квадратным тетрамино, использовав каждую фигурку ровно один раз. При этом квадрат может быть расположен в любой части доски. Обобщение этой головоломки — покрыть полным набором двусторонних пентамино шахматную доску с произвольными четырьмя вырезанными клетками.

Большинство таких задач имеют решение. Несколько примеров приведено на рис. 17.

Рис. 17.

Рис. 17. Примеры заполнения шахматной доски с четырьмя вырезанными клетками набором двусторонних пентамино. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org

5. Полным набором двусторонних пентамино можно покрыть прямоугольники размера 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. При этом количество возможных решений (с точностью до поворота и отражения данного прямоугольника) для случая 6×10 составляет 2339 различных укладок, для случая 5×12 — 1010 укладок, для случая 4×15 — 368 укладок, а для случая 3×20 — всего 2 укладки. Примеры показаны на рис. 18

Рис. 18.

Рис. 18. Примеры заполнения разных прямоугольников набором двусторонних пентамино. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org

6. Задача об утроении заключается в следующем: выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза большей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причем оно далеко не единственно (количество решений варьируется от 15 для Х-пентамино до 497 для Р-пентамино). На рис.

19 показано решение, найденное А. ван де Ветерингом. Оно обладает интересным свойством: каждое пентамино используется для утроения девяти из остальных, по одному разу в каждой. То есть из девяти комплектов пентамино можно одновременно сложить все 12 утроенных пентамино.

Рис. 19.

Рис. 19. Задача об утроении пентамино. Решение А. ван де Ветеринга. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org

7. Полным набором двусторонних гексамино никакой прямоугольник покрыть нельзя. Для доказательства достаточно использовать обычную шахматную раскраску. В любом прямоугольнике при такой раскраске количество черных и белых клеток будет совпадать. А вот в наборе гексамино эти числа обязательно будут различаться, потому что 24 фигурки гексамино занимают по 3 белые и черные клетки, а оставшиеся 11 фигурок — 2 клетки одного цвета и 4 клетки другого цвета.

8. Зато полным набором двусторонних гексамино можно покрыть разные другие интересные симметричные фигуры (рис. 20).

Рис. 20.

Рис. 20. Покрытие симметричных фигур полным набором гексамино. Рисунок с сайта stepanov.lk.net

9. Особое место среди задач этой тематики занимают покрытия разных объектов фигурками домино. Так, количество покрытий прямоугольника 2×n фигурками домино выражается (n + 1)-м числом Фибоначчи. Существует также формула для числа покрытий фигурками домино прямоугольника 2m×2n, она имеет следующий вид:

10. Любая из фигурок мономино, домино, тримино, тетрамино и пентамино допускает моноэдральное замощение плоскости. Это означает, что какую из перечисленных фигурок мы ни возьмем, плоскость можно покрыть ее копиями без пробелов и наложений. При этом для всех фигурок, за исключением X-пентамино, таких замощений бесконечно много.

11. Любая из 35 фигурок гексамино допускает моноэдральное замощение плоскости. Среди 108 фигурок гептамино четыре таким свойством не обладают. Это же можно сказать про 26 из 369 фигурок октамино и 235 из 1285 фигурок нонамино.

12. Существуют наборы из нескольких фигурок полимино, которые допускают только непериодические замощения. Например, таковыми являются наборы фигурок полимино, изображённые на рис. 21.

Рис. 21

Рис. 21. Наборы полимино, допускающие только непериодические заполнения плоскости

Помимо полимино существуют и другие объекты, имеющие сходные строение и свойства. Речь идет, прежде всего, о полиамондах, полигексах и полиаболах, то есть о фигурах, составленных из нескольких правильных треугольников, правильных шестиугольников и равнобедренных прямоугольных треугольников соответственно. Кроме того, интерес представляют пространственные полимино, которые называются поликубами.

При подготовке задачи были использованы следующие материалы:
1) М. Гарднер, «Математические головоломки и развлечения», М: Мир, 1971.
2) М. Гарднер, «Математические новеллы», М: Мир, 1974.
3) С. В. Голомб, «Полимино», М: Мир, 1975.
4) Г. Дьюдени, «Кентерберийские головоломки», М: Мир, 1979.
5) B. Grünbaum, G. C. Shephard, Tilings and Patterns, 1987.

Источник: elementy.ru

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Загрузка ...
Ё-Паркет