Презентация 3 класса на тему: «игра ПЕНТАМИНО». Скачать бесплатно и без регистрации. — Транскрипт:
1 Презентацию подготовил ученик 3г класса ГБОУ ЦО 1450 Суриков Дмитрийученик 3 Г класса ГОУ ЦО 1450 Суриков Дмитрий
2 Как и все дети, я очень люблю играть в разные игры. Особенно мне нравятся логические игры. Я умею играть в шахматы В шашки. Люблю «игры со спичками»
15 В дороге играю в тетрис Из истории: Самый легендарный российский игровой программист — Алексей Пажитнов, автор Тетриса. Ему пришло в голову запрограммировать классическую головоломку Пентамино так, чтобы фигуры падали, поворачиваясь вокруг центра тяжести. Однако мощности Электроники-60 для таких вычислений не хватало, и задачу было решено упростить — усечением у пентамино пятого элемента. Так родился Тетрис — программа, написанная за две недели на русском языке программирования Pascal. Мне захотелось узнать о «родственнице» Тетриса – игре ПЕНТАМИНО.
16 Игра заключается в складывании различных фигур из заданного набора пентамино. Набор пентамино содержит 12 фигурок, каждая из которых составлена из пяти одинаковых квадратов, причём квадраты «соседствуют» друг с другом только сторонами.
ПАРКЕТЫ из фигур пентамино ➄
17 Эта игра была придумана в 50-х годах ХХ века американским математиком С. Голомбом и очень быстро увлекла не только школьников и студентов, но и профессоров математики.
20 Можно уложить все 12 фигур пентамино в прямоугольник 6*10. Фигурки можно переворачивать. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10. Эту задачу впервые решил в 1965 году Джон Флетчер.
21 Можно сложить из фигурок буквы.
22 Можно сложить из фигурок картинку. Лось
23 Из фигурок пентамино можно сложить паркет.
24 Комната с паркетом
25 В пентамино можно играть одному, а можно вдвоём. Теперь я играю в пентамино со своими друзьями.
Источник: www.myshared.ru
Паркет из пентамино
Можно изготовить пентамино из кубиков, но тогда Вам нужно будет склеить и обклеить цветной пленкой 60 кубиков — трудновато. Предлагаем сделать элементы их плотного картона.
- Рисуем каждый элемент на твердом картоне, вырезаем, проверяем, чтобы элемент входил в элемент «U». Подрезаем , если надо лишнее. Мы рисовали детали из квадратиков 2,5×2,5 см.
- Обводим готовый картонный элемент на сложенной вдвое цветной бумаге и вырезаем сразу две цветные детали. Лучше цветные детали делать меньше, чем картонные, и приклеиваются лучше, и углы поровнее будут.
- Клеим клеем-карандашом цветную бумагу с двух сторон картонки.
- Находим коробочку для хранения деталей, куда потом будем складывать также схемы и задания к игре.
Игры и задачи с Пентамино
Сложи прямоугольник.
Самая распространённая задача о пентамино — сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Поскольку каждая из 12 фигур включает в себя 5 квадратов, то прямоугольник должен быть площадью 60 единичных квадратов. Возможны прямоугольники 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. Существует ровно 2339 различных укладок пентамино в прямоугольник 6×10, а вот вариантов прямоугольника 3×20 всего 2.
Один из двух способов складывания прямоугольника 3×20
Честно скажу, пыталась весь вечер сложить — не получилось, поэтому ребенку такую задачу лучше не предлагать.
Детям лучше тренироваться на маленьких прямоугольниках из нескольких деталей. Вот нарисовали варианты складывания прямоугольников из трех деталей.
Сложи фигуру
Их элементов можно складывать различные фигуры, симметричные узоры, буква алфавита, цифры. Для маленьких детей, лучше фигуры складывать по образцу, как мозаику. Фигурки можно распечатать или перерисовать на листочек в клеточку. Варианты фигур пентамино можно посмотреть здесь >>>
Фигура «Утка», сложенная по образцу.
Игры с малышами.
С малышами играть лучше совсем по другому, не стоит им давать сразу сложные задания на логику, пусть играют с пентамино как с пазлами.
- Моя дочь (3,5 года) складывает их один в другой, ищет подходящий по цвету или форме, а в получившейся собранной фигуре ищет признаки сходства с животным или знакомым предметом. Например, если фигура похожа на слона, то можно пытается сделать хобот подлиннее или увеличить уши, а потом убрать пару элементов и превратить фигуру в мышь или еще кого-нибудь.
- Покажите ребенку как складывать маленький прямоугольник. Потом разломайте, как будто нечаянно. Можно перед тем как сломать, обратить внимание ребенка на то, где какие детали лежат. Попросите помочь собрать его заново, а то у вас не получается.
Да, много еще игр можно придумать с пентамино, главное, что бы ребенку и вам было интересно.
Пентамино из Лего
Кстати, если у Вас дома много стандартных кирпичиков лего, то можно попробовать сделать пентамино их них. Фигурки сложенные из Лего получаться объемные, и можно будет собирать помимо обычных, плоскостных моделей, объемные фигуры.
Схема сборки достаточно простая: два ряда кирпичиков уложенные друг на друга со смещением.
«Пентамино» — одна из самых популярных мировых головоломок, пик популярности пришелся на конец 60-х годов. Сама игра подробно описывалась в журнале «Наука и жизнь». В эту головоломку могут играть и дети и взрослые.
Запатентовал головоломку «Pentomino» Соломон Вольф Голомб, житель Балтимора, математик и инженер, профессор университета Южная Калифорния. Игра состоит из плоских фигур, каждая из которых состоит из пяти одинаковых квадратов, соединённых между собой сторонами, отсюда и название. Существуют еще версия головоломок Тетрамино, состоящие из четырех квадратов, от этой игры и произошел известный Тетрис.
Элементы Пентамино
Игровой набор «Пентамино» состоит из 12 фигурок. Каждая фигура обозначается латинской буквой, форму которой она напоминает. При решении задач и головоломок фигурки можно вертеть и переворачивать, поэтому при изготовлении игры своими руками элементы делайте двухсторонними.
Популярные головоломки
Игры и игрушки на основе Пентамино
Сейчас в интернет магазинах можно найти игры и головоломки, сделанный на основе элементов Пентамино.
Пентамино своими руками
Предлагаем сделать элементы игры из плотного картона или пластика и обклеить цветной бумагой или клеящейся пленкой. Внизу представлен вариант изготовления из картона.
- Рисуем каждый элемент на твердом картоне или пластике. Рисовать лучше, каждый элемент по отдельности, не складывая в прямоугольник — так вырезать будет легче.
- Вырезаем первую фигуру «U», перепроверяем размеры. Далее вырезаем все остальные элементы, проверяя чтобы они спокойно входили в элемент «U» своими выпуклыми частями. Подрезаем , если надо лишнее. На фотографии показаны элементы с размером квадратного модуля 2,5×2,5 сантиметра.
- Обводим готовый картонный элемент на сложенной вдвое цветной бумаге и вырезаем сразу две цветные детали. Лучше цветные детали делать чуть меньше, чем картонные, и приклеиваются лучше, и края не будут отклеиваться от частого использования.
- Клеим цветную бумагу с двух сторон к картону.
- Находим коробочку для хранения деталей, куда потом будем складывать также схемы и задания к игре. Схемы можно распечатывать на сайте, а можно рисовать и раскрашивать на тетрадном листе в клеточку.
Источник идеи сайт www.BabyLessons.ru: Пентамино своими руками
Источник: popolu.ru
Паркеты из полимино
Полимино (n-мино) — это плоские геометрические фигуры, образованные путем соединения нескольких одноклеточных квадратов по их сторонам. В зависимости от того, из какого количества квадратов полимино состоит, оно может называться по-разному: мономино (n = 1), домино (n = 2), тримино (n = 3), тетрамино (n = 4) и так далее (рис. 1).
Рис. 1. Все возможные (с точностью до вращения и переворачивания) полимино, состоящие не больше чем из четырех квадратов
а) Придумайте три различных замощения плоскости фигурками пентамино, изображёнными слева на рис. 2.
б) Докажите, что существует бесконечно много различных замощений плоскости фигурками нонамино (9-мино), изображенными в центре на рис. 2.
в) Приведите пример фигурки гептамино (7-мино), отличающейся от изображенной справа на рис. 2, копиями которой нельзя замостить плоскость без пробелов и наложений (считаем, что фигурки можно вращать и переворачивать).
Рис. 2. Слева — пентамино, в центре — нонамино, справа — гептамино
Подсказка 1
В пункте а) попробуйте сложить из фигурок пентамино полосу, бесконечную в обе стороны, копиями которой потом можно было бы покрыть плоскость. То же относится к фигуркам нонамино в пункте б).
В пункте в) придумайте такие гептамино, из которых сложить подобную полосу не получится.
Подсказка 2
Чтобы получить много разных замощений, в частности, бесконечно много — как требуется в пункте б), достаточно сконструировать две различные полосы, которые потом можно комбинировать между собой. Три замощения в пункте а) можно получить таким же образом.
А фигура, копиями которой нельзя замостить плоскость, по всей видимости, должна обладать либо выемками, которые нельзя покрыть, либо, наоборот, выступающими частями, которые накладываются друг на друга, как ни крути.
Решение
а) Для начала сложим вместе два наших пентамино — получится восьмиугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны (рис. 3).
Такими восьмиугольниками оказывается удобно мостить плоскость. Для этого будем прикладывать их параллельными сторонами друг к другу, образовывая бесконечно длинные полосы. Наиболее естественно это делать одним из двух способов, изображенных на рис. 4.
Полученными полосами покрыть плоскость совсем легко — так у нас получаются два различных замощения данными пентамино, показанные на рис. 5.
Чтобы получить еще одно замощение, посмотрим, как устроены уже построенные нами полосы. Каждая из них представляет собой что-то вроде «лесенки». Считая длину стороны квадрата, из пяти копий которого составлено пентамино, равной единице, мы можем сказать, что у первой «лесенки» длина «ступеньки» равна 3, а высота — 1. Что касается второй «лесенки», то у нее длина и ширина «ступенек» совпадают и равны 2.
Понятно, что если нам удастся сконструировать еще одну полосу-«лесенку», у которой длина и ширина «ступенек» совпадают с одним из уже указанных вариантов, то потом мы сможем скомбинировать между собой эти полосы и получить новое замощение. Удивительным образом эта полоса обнаруживается в одном из двух уже построенных замощений, хотя сама полоса отличается от двух уже известных нам «лесенок» (рис. 6).
Поэтому третье из искомых замощений получается таким, как на рис. 7.
Существуют и более хитрые полосы, которые приводят к замощениям. Один из примеров такого замощения приведен на рис. 8.
б) Самый естественный способ замостить плоскость данными фигурками нонамино заключается в том, чтобы, как и в пункте а), сначала составить из них полоску, а потом уже покрыть все такими полосками (рис. 9, слева).
Другой вариант замощения получается, если мы будем чередовать положения наших фигурок: стандартное, повернутое, стандартное, повернутое и так далее — получается рисунок, похожий на мозаику паззлов (рис. 9, справа).
С первого взгляда кажется совершенно непонятным, что общего между этими двумя замощениями (если не считать форму плитки, которая лежит в их основе, конечно). Дело оказывается в том, что полосы в каждом замощении можно выделять разными способами. В частности, в первом из указанных замощений можно найти полосу, которая имеется и во втором замощении (рис. 10).
Теперь мы можем, чередуя такие полосы с полосами фигурок нонамино, повернутых на 90°, получить бесконечно много разных вариантов замощения плоскости. Например, такой, который изображен на рис. 11.
Проводя аналогию с пунктом а), отметим, что и там мы можем комбинировать две стандартные полосы различными способами, а значит, вариантов замощения плоскости данным пентамино также бесконечно много. А для знакомых с теорией множеств обратим внимание на тот факт, что подобные множества различных замощений даже не являются счетными, поскольку каждому замощению соответствует бесконечная в обе стороны последовательность из нулей и единиц.
в) Среди всех 108 возможных фигурок гептамино только четыре обладают тем свойством, что их копиями нельзя замостить плоскость без пробелов и наложений: одна из них изображена справа на рис. 2, а остальные три — на рис. 12. Мы приведём доказательство этого факта только для левой из этих трех фигурок. Для двух других объяснение использует ту же самую идею, хотя и является более громоздким из-за необходимости рассмотрения большего числа случаев.
Рассмотрим данную фигурку гептамино и одну из клеток, которая к ней примыкает по двум сторонам (зелёная клетка на рис. 13). Эта клетка должна быть покрыта какой-либо копией фигурки гептамино — с точностью до симметрии имеется всего два варианта такого покрытия.
Для каждого из этих вариантов рассмотрим одну из клеток, которая примыкает по двум сторонам ко второй фигурке (жёлтые клетки на рис. 13). Она тоже должна быть покрыта некоторой копией данной фигурки гептамино. Однако как бы мы ни располагали третью фигурку, а впоследствии и остальные фигурки, соседняя клетка (красные клетки на рис. 13) окажется не покрыта ничем.
Следовательно, данная фигурка гептамино не допускает замощения плоскости без пробелов и наложений.
Послесловие
Термин полимино (англ.: polyomino) был введен в широкое обращение американским математиком Соломоном Голомбом в 1953 году, а затем популяризирован Мартином Гарднером. Однако это вовсе не означает, что до середины XX века человечество было совершенно незнакомо с этим понятием. Как справедливо отмечал сам Голомб, задачи о пентамино упоминаются еще в книге «Кентерберийские головоломки» английского изобретателя головоломок и развлечений Генри Дьюдени (Henry Dudeney), изданной в 1907 году, и есть основания полагать, что Дьюдени был не первым человеком, заинтересовавшимся этой темой. Кроме того, в период с 1937-го по 1957 годы в английском журнале Fairy Chess Review появился ряд статей, в которых рассматривались задачи разбиения различных фигур на части, имеющие форму n-мино для n = 1, . 6.
Различают три вида полимино в зависимости от того, разрешается ли переворачивать и вращать фигурки. Двусторонние полимино (англ.: free polyominoes) можно как переворачивать, так и поворачивать, односторонние полимино (англ.: one-sided polyominoes) можно только поворачивать в плоскости, а фиксированные полимино (англ.: fixed polyominoes) нельзя ни поворачивать, ни переворачивать.
Существует ровно по одному типу двусторонних мономино и домино, два типа тримино и пять типов тетрамино (рис. 1). Количество различных фигурок двустороннего пентамино равно уже двенадцати (рис. 14). Чтобы запомнить их все, Голомб предложил использовать следующее мнемонеческое правило: каждой фигурке пентамино сопоставим букву латинского алфавита; семь из этих букв (TUVWXYZ) составляют конец латинского алфавита, а еще пять (FILPN) входят в имя Filipino (в оригинале книги Голомба слово «Filipino» означает «филиппинец»). К слову, тетрамино тоже иногда обозначают латинскими буквами: I, O, T, L и Z.
Чем больше число n, тем большее количество различных n-мино можно составить из n единичных квадратиков, причем зависимость является экспоненциальной. Так, существует 35 различных разновидностей двустороннего гексамино, 108 разновидностей двустороннего гептамино, 369 разновидностей двустороннего октамино и более тысячи видов фигурок двустороннего нонамино. Точную формулу, которая бы отражала зависимость количества различных фигурок n-мино от числа n, пока еще никому не удалось найти, а потому в каждом конкретном случае приходится пускаться в утомительные вычисления, отнимающие уйму времени. На сегодняшний день с использованием суперкомпьютеров удалось перечислить всевозможные двусторонние полимино для всех n ≤ 28, а также всевозможные фиксированные полимино для всех n ≤ 56 — количество разновидностей последних составляет приблизительно 7·10 31 штук.
Рис. 15. Шахматная раскраска доски без двух углов
Большая часть популярных задач и головоломок, использующих фигурки полимино, связана с замощениями плоскости или различных других объектов — квадратов, прямоугольников и фигур более хитрой формы. Не претендуя на то, чтобы охватить все, что познало человечество за последние пятьдесят с лишним лет, перечислим наиболее заметные и любопытные идеи и факты.
1. Задача, уже ставшая классической: можно ли покрыть фигурками домино 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезана пара противоположных угловых клеток? Ответ на поставленный вопрос отрицательный: раскрасив доску так, как это показано на рис. 15, легко убедиться, что эта доска содержит 32 черные и 30 белых клеток, в то время как каждая фигура домино занимает по одной клетке каждого цвета, как бы мы ее ни располагали.
2. Другая задача, похожая на первую: какую клетку из шахматной доски 8×8 нужно вырезать, чтобы ее можно было покрыть фигурками тримино 1×3? Чтобы решить ее, оказывается полезным раскрасить доску в три цвета так, как изображено слева на рис. 16. При такой раскраске черных и белых клеток поровну — по 21 штуке, а серых клеток больше — их 22.
Поскольку каждая фигурка тримино занимает по одной клеточке каждого цвета, мы должны вырезать серую клетку. Однако подойдет не любая серая клетка, а лишь такие, которые при повороте доски перейдут в серые клетки — таких всего четыре (рис. 16, в середине). Одно из возможных покрытий показано справа на рис. 16.
3. Шахматную доску можно покрыть копиями каждого вида тетрамино, кроме Z-тетрамино. При этом нельзя покрыть ее одним квадратом и 15-ю T-тетрамино, одним квадратом и 15-ю L-тетрамино, а также одним квадратом и 15-ю I-тетрамино (для доказательства этих фактов также используются различные раскраски доски 8×8).
4. Шахматную доску можно покрыть полным набором двусторонних пентамино и квадратным тетрамино, использовав каждую фигурку ровно один раз. При этом квадрат может быть расположен в любой части доски. Обобщение этой головоломки — покрыть полным набором двусторонних пентамино шахматную доску с произвольными четырьмя вырезанными клетками.
Большинство таких задач имеют решение. Несколько примеров приведено на рис. 17.
Рис. 17. Примеры заполнения шахматной доски с четырьмя вырезанными клетками набором двусторонних пентамино. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org
5. Полным набором двусторонних пентамино можно покрыть прямоугольники размера 6×10, 5×12, 4×15 и 3×20. При этом количество возможных решений (с точностью до поворота и отражения данного прямоугольника) для случая 6×10 составляет 2339 различных укладок, для случая 5×12 — 1010 укладок, для случая 4×15 — 368 укладок, а для случая 3×20 — всего 2 укладки. Примеры показаны на рис. 18
Рис. 18. Примеры заполнения разных прямоугольников набором двусторонних пентамино. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org
6. Задача об утроении заключается в следующем: выбрав одну из 12 фигур пентамино, необходимо построить из каких-либо 9 оставшихся пентамино фигуру, подобную выбранной, но в 3 раза большей длины и ширины. Решение существует для любого из 12 пентамино, причем оно далеко не единственно (количество решений варьируется от 15 для Х-пентамино до 497 для Р-пентамино). На рис.
19 показано решение, найденное А. ван де Ветерингом. Оно обладает интересным свойством: каждое пентамино используется для утроения девяти из остальных, по одному разу в каждой. То есть из девяти комплектов пентамино можно одновременно сложить все 12 утроенных пентамино.
Рис. 19. Задача об утроении пентамино. Решение А. ван де Ветеринга. Рисунок с сайта ru.wikipedia.org
7. Полным набором двусторонних гексамино никакой прямоугольник покрыть нельзя. Для доказательства достаточно использовать обычную шахматную раскраску. В любом прямоугольнике при такой раскраске количество черных и белых клеток будет совпадать. А вот в наборе гексамино эти числа обязательно будут различаться, потому что 24 фигурки гексамино занимают по 3 белые и черные клетки, а оставшиеся 11 фигурок — 2 клетки одного цвета и 4 клетки другого цвета.
8. Зато полным набором двусторонних гексамино можно покрыть разные другие интересные симметричные фигуры (рис. 20).
Рис. 20. Покрытие симметричных фигур полным набором гексамино. Рисунок с сайта stepanov.lk.net
9. Особое место среди задач этой тематики занимают покрытия разных объектов фигурками домино. Так, количество покрытий прямоугольника 2×n фигурками домино выражается (n + 1)-м числом Фибоначчи. Существует также формула для числа покрытий фигурками домино прямоугольника 2m×2n, она имеет следующий вид:
10. Любая из фигурок мономино, домино, тримино, тетрамино и пентамино допускает моноэдральное замощение плоскости. Это означает, что какую из перечисленных фигурок мы ни возьмем, плоскость можно покрыть ее копиями без пробелов и наложений. При этом для всех фигурок, за исключением X-пентамино, таких замощений бесконечно много.
11. Любая из 35 фигурок гексамино допускает моноэдральное замощение плоскости. Среди 108 фигурок гептамино четыре таким свойством не обладают. Это же можно сказать про 26 из 369 фигурок октамино и 235 из 1285 фигурок нонамино.
12. Существуют наборы из нескольких фигурок полимино, которые допускают только непериодические замощения. Например, таковыми являются наборы фигурок полимино, изображённые на рис. 21.
Рис. 21. Наборы полимино, допускающие только непериодические заполнения плоскости
Помимо полимино существуют и другие объекты, имеющие сходные строение и свойства. Речь идет, прежде всего, о полиамондах, полигексах и полиаболах, то есть о фигурах, составленных из нескольких правильных треугольников, правильных шестиугольников и равнобедренных прямоугольных треугольников соответственно. Кроме того, интерес представляют пространственные полимино, которые называются поликубами.
При подготовке задачи были использованы следующие материалы:
1) М. Гарднер, «Математические головоломки и развлечения», М: Мир, 1971.
2) М. Гарднер, «Математические новеллы», М: Мир, 1974.
3) С. В. Голомб, «Полимино», М: Мир, 1975.
4) Г. Дьюдени, «Кентерберийские головоломки», М: Мир, 1979.
5) B. Grünbaum, G. C. Shephard, Tilings and Patterns, 1987.
Источник: elementy.ru