Наконец-то я собралась с мыслями и написала статью о прекрасной и невероятно обширной теме, объединяющей столь притягательные для меня геометрию и лоскутное шитье!
Садитесь поудобнее, будет очень интересно!
Говорить мы сегодня будем о паркетах!
Нет, не о напольном покрытии. А о математическом понятии!
Википедия определяет математический паркет как разбиение плоскости на многоугольники без пробелов и наслоений. Паркет иначе можно назвать замощением, тесселяцией или привычной нашему слуху мозаикой. А что есть лоскутное шитье, как не сборка плоскостной мозаики из ткани?!
Условно мы принимаем за аксиому, что в качестве элементов нашей мозаики участвуют целые односложные элементы. То есть фигурки из тетриса, образованные из квадратиков — нам не подойдут.
Виды мозаик.
Паркет, составленный из одинаковых правильных многоугольников называется правильным. Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет. Правильные мозаики называют также платоновыми.
Евгений Нурминский: профессор, доктор физико-математических наук, заслуженный деятель науки РФ
Правильные мозаики
Поскольку логика сборки очевидна и понятна, именно эти схемы чаще всего используются для лоскутного шитья. Вы сто раз видели примеры, наверняка даже шили их сами!
Одеяло из магазина Quilting and knitting (Мария, Красноярск). Фото взято в открытых источниках для иллюстрации принципа сборки.
Каждая из этих мозаик невероятно обширно представлена в лоскутном мире! Каждое второе одеяло собирается по принципу квадратной сетки. А шестиугольники это излюбленная мозаика в технике EPP — English Paper Piecing, ручная сборка с использованием шаблонов. Мастерицы добились невероятных высот в составлении сложных композиций на основе такой простой шестиугольной сетки.
Фото взято в открытых источниках
Если сборка треугольников и квадратов не вызывает вопросов, с шестиугольниками чуть сложнее. Есть два пути — вышеобозначенная ручная сборка и сшивание блоков с преодолением тупого угла. На любом курсе по азам лоскутного шитья вас обучат этому приему.
Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, называют полуправильными паркетами или архимедовыми.
Существует 8 полуправильных паркетов. Один из восьми полуправильных паркетов — курносый тришестиугольный паркет является хиральным , то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением.
Эти плитки тоже можно сшить! Какие необычные получатся квилты! А главное, можно сэкономить время при чертеже и раскрое деталей — ведь они все одинаковые.
Следующая группа многочисленна. Точнее — просто бесконечна! Это группа неоднородных мозаик , состоящих из правильных многоугольников. Приведу здесь некоторые:
Таких мозаик может быть бесконечное множество!
Есть еще сложная для понимания группа нерегулярных паркетов , куда относятся мозаики Пенроуза, замощение Фодерберга, апериодичная мозаика.
Милый добрый математик Пенроуз на полу, вымощенном мозаикой Пенроуза!
Мозаика Пенроуза. Фото из открытых источников
Математика для всех. Алексей Савватеев. Лекция 2.7. Замощение плоскости
Сюда же можно отнести известную схему Millefiori quilt, также известную как La Passacaglia (Миллефьори и Пассакалья). Присмотритесь, центр ничего вам не напоминает?!
Фото взяты в открытых источниках
«Правильная» схема пассакальи выглядит так:
Концентрическая «правильная» схема сборки пассакальи
Если разбирать на детальки построение, мы получим множество красивых «розеток», которые можно не только использовать в качестве отдельных изделий — как элемент аппликации, например, а также как детали ассиметричной неправильной пассакальи. Схема сборки будет чуть ниже.
Начнем с простой небольшой розетки. Пять равносторонних ромбов в центре, пять веретен и 10 пятиугольников. Длины сторон всех элементов всех многоугольников равны
А вот схема нерегулярной сетки:
В этой хаотичности тоже есть красота
Сложная, интересная и всемогущая! Можно шить абсолютно разные розетки, объединяя их в произвольном порядке. Идеальная схема для долгосрочных швейных проектов!
Невозможно не вспомнить восточные орнаменты, когда смотришь на эти глубокие и эффектные схемы! Восточные орнаменты делят на два вида — гирих и ислими. Первые — геометричные, вторые на основе флоры и спиралей. Нас интересуют, конечно, первые!
Гирих — геометрический орнамент востока. Фото из открытых источников
Вот построение и применение одной из сеток гириха:
И просто и сложно одновременно!
Вот и гексагоны наши любимые! Можно сделать только эти шестиугольнички и пришить их на ткань в определенном порядке — вот и готов гирих! Восторг!
А следующая группа мозаик заинтересовала меня когда-то больше других.
Пятиугольный паркет.
Это мозаика, составленная из выпуклых пятиугольников одного типа. Тут появляется интрига!
К настоящему времени математикам известно, что любым треугольником и четырехугольником можно замостить плоскость, а также то, что существуют только три типа выпуклых шестиугольников, способных это сделать (многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от прямой, содержащей любую его сторону). Выпуклыми фигурами, имеющими более шести сторон, замостить плоскость невозможно. Это же невозможно сделать и при помощи правильных пятиугольников (пентагонов) — выпуклых многоугольников, все пять сторон которых равны друг другу. Таким образом, в настоящее время задача классификации многоугольных паркетов сводится к определению всех типов пятиугольных паркетов.
Предполагается, что существует всего 15 классов пятиугольников, бесконечные паркеты из которых могут замостить плоскость. Поиск всех таких классов продолжался до 2015 года, а 1 мая 2017 года Микаэль Рао предъявил доказательство того, что других таких пятиугольников не существует.
Невероятно, правда?! Только что мы видели бесконечные варианты. А тут всего 15 схем!
Источник: dzen.ru
Математический паркет
Морис Корнелис Эшер 1898—1972 Нидерландский художник-график. Известен прежде всего литографиями, гравюрами на дереве и металле, в которых он мастерски исследовал пластические аспекты понятий бесконечности и симметрии, а также особенности психологического восприятия сложных трёхмерных объектов.
Родился в Голландии в городе Леувардене
В доме, где родился Эшер , сейчас находится музей
Всемирная известность 1951 года Печатался в трёх популярных журналах того времени:
Ящерицы, изображенные голландским художником М. Эшером , образуют, как говорят математики, « п а р к е т». Каждая ящерица плотно прилегает к своим соседям без малейших зазоров, как плашки паркетного пола.
ПИФАГОРЕЙСКАЯ ШКОЛА Простейшие паркеты были открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.
Математический паркет Паркетом называется заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным , если он состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.(360 0 )
Правильные паркеты Сумма всех углов n-угольника равна 180°(n-2). Все углы правильного многоугольника равны; следовательно, каждый из них равен 180°(n-2)/ n . В каждой вершине паркета сходится целое число углов; поэтому число 2·180° должно быть целым кратным числа 180°(n-2)/ n . Разность n-2 может принимать лишь значения 1, 2 или 4; поэтому n может быть равно только 3, 4 или 6. Значит, можно получить паркеты, составленные из правильных треугольников, квадратов или правильных шестиугольников.
Паркет из правильных многоугольников Существуют следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) — два варианта паркета; (3,4,4,6) — четыре варианта; (3,3,3,4,4) — четыре варианта; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (цифры в скобках — обозначения многоугольников, сходящихся в каждой вершине: 3 — правильный треугольник, 4 — квадрат, 6 — правильный шестиугольник, 12 — правильный двенадцатиугольник ). Некоторые варианты паркета : (4,8,8) (3,3,6,6) (4,6,12) (3,4,4,6)
Паркеты из неправильных многоугольников Легко покрыть плоскость параллелограммами. Можно замостить плоскость копиями Произвольного четырехугольника, необязательно выпуклого.
Можно составить паркет из копий произвольного треугольника: из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, и покрыть плоскость копиями этого параллелограмма Плоскость можно покрыть копиями центрально-симметричного шестиугольника, или копиями пятиугольника с двумя параллельными сторонами. До сих пор не найдены все типы выпуклых пятиугольников, из которых складываются паркеты. Доказана теорема, утверждающая: «Нельзя сложить паркет из копий выпуклого семиугольника». Существуют паркеты из невыпуклых семиугольников.
Паркеты из одинаковых и правильных многоугольников Формула угла правильного n- угольника
Вывод : При создании паркета должно соблюдаться обязательное условие , плоскость, которую мы замощаем должна быть без просветов и двойных покрытий. Когда создаёшь паркет, нужно быть очень внимательным и не торопиться, стоит одну ячейку сдвинуть, испортим весь паркет.
Задача 1 . Покажите, как можно составить паркет из равных между собой копий: а) произвольного треугольника, б) произвольного (не обязательно выпуклого) четырехугольника, в) пятиугольника с двумя параллельными сторонами, г) центрально-симметричного (не обязательно выпуклого) шестиугольника.
Решение : а ) Из двух равных треугольников можно сложить параллелограмм, а параллелограммами уже легко покрыть плоскость. б) Если задан произвольный четырехугольник, то, повернув его на угол Пи( 180 0 ) вокруг середины одной из его сторон, получаем центрально-симметричный шестиугольник, составленный из двух копий заданного четырехугольника. Такими шестиугольниками можно покрыть плоскость (рис. 4 ). в) Приставляя друг к другу два экземпляра пятиугольника с двумя параллельными сторонами, снова получаем центрально-симметричный шестиугольник, копиями которого можно покрыть плоскость (рис. 5 ). Рис.4 Рис.5
Источник: nsportal.ru
Презентация на тему Паркеты Эшера Алгоритм получения фигуры, из которой можно создать паркет
Паркеты из правильных многоугольников. Паркетом из правильных многоугольников называют такое покрытие плоскости, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.
- Главная
- Математика
- Паркеты Эшера Алгоритм получения фигуры, из которой можно создать паркет
Слайды презентации
Слайд 1 Творческие работы по теме «Движения»
Л.С. Атанасян «Геометрия
7-9″
Слайд 2 Паркеты из правильных многоугольников.
Паркетом из правильных многоугольников называют такое
покрытие плоскости, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину или совсем не имеют общих точек.
Слайд 3
Слайд 4
Слайд 5
Слайд 6
Слайд 7
Слайд 8
Слайд 9
Слайд 10
Алгоритм получения фигуры, из которой можно создать паркет.
Паркеты
Эшера
Слайд 11
Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь: Пер. Л33
с англ. – М.: Педагогика, 1987.
Алгоритм получения фигуры, из которой можно собрать паркет.
Слайд 12 Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь: Пер. Л33
с англ. – М.: Педагогика, 1987.
Слайд 13
Лэнгдон Н., Снейп Ч. С математикой в путь: Пер. Л33
с англ. – М.: Педагогика, 1987.
Слайд 14 Полочка для мелочей украшена паркетом Эшера.
Слайд 15 Ящерицы
С помощью компьютера мы увеличили паркеты Эшера. Затем
вырезали шаблон из картона, нанесли рисунок на фанеру. Очень трудоемкая работа – выжигание и подбор сочетания цветов гуаши для картины. Последний шаг – картина покрывается бесцветным лаком.
Слайд 16
На картине «Рыба,
заглатывающая корабль»
желтые кораблики
переливаются желтыми
блестками. Этот приём
придал картинам
загадочность. Интересно рассматривать картины с разных ракурсов.
Формирование комфортной визуальной среды в школе
ПРОЕКТ
Слайд 17 Дети увлеклись паркетами Эшера и нарисовали 5 картин для рекреации.
В
экспозиции с бабочками мы выделили синими блестками синих бабочек.
Формирование комфортной визуальной среды в школе
ПРОЕКТ
Слайд 18 На картине с лебедями – выделили голубым гелем с блестками
синих лебедей.
Формирование комфортной визуальной среды в школе
ПРОЕКТ
Источник: findtheslide.com